3. Головний вектор і головний момент сил інерції та їх обчислення

Покажемо, що головний вектор сил інерції твердого тіла завжди дорівнює силі інерції його центра мас, у припущенні, що в ньому зосереджена маса всього тіла, і напрямлений протилежно прискоренню центра мас.

Дійсно, головний вектор всіх сил інерції твердого тіла дорівнює:

(6.9)

Диференціюючи двічі по часу вираз маємо . Звідси і з (6.9) дістанемо:

(6.10)

що і треба було показати.

Якщо прискорення розкласти на дотичне і нормальне, то будемо мати:

(6.11)

Головний момент сил інерції, у випадку коли точка його прикладання нерухома, дорівнює:

Але

і

тому що

Отже

(6.12)

де - кінетичний момент твердого тіла відносно нерухомого центра О .

Отже головний вектор сил інерції твердого тіла не залежить від того, яким чином воно рухається, а головний момент відносно нерухомого центра – залежить.

У техніці найбільш розповсюдженні поступальний, обертальний і плоский рухи твердого тіла. Розглянемо до чого зводяться головний вектор і головний момент сил інерції твердого тіла у випадках його поступального, обертального і плоского рухів.

1). Поступальний рух. Якщо тверде тіло рухається поступально, то прискорення всіх його точок однакові. Сили інерції цих точок складають систему паралельних сил, напрямлених в одну сторону. Така система сил приводиться до рівнодійної сил , яка дорівнює головному вектору, тобто

(6.13)

Лінія дії рівнодійної сил інерції в цьому випадку проходить через центр мас, тому що головний момент сил інерції точок тіла відносно центра мас .

Дійсно, згідно (6.7),

(6.14)

де - головний момент всіх зовнішніх сил і реакцій в’язей включно відносно центра мас. Але при поступальному русі тіло не здійснює обертального руху навколо центра мас і тому При цьому, згідно (6.14), .

Таким чином, при поступальному русі твердого тіла сили інерції його точок зводяться до рівнодійної, яка дорівнює їх головному вектору і проходить через центр мас тіла.

2). Обертання навколо нерухомої осі. Нехай тіло має площину симетрії, а вісь обертання перпендикулярна до цієї площини і проходить через центр мас тіла, в якому помістимо центр приведення сил. При цьому ( ) і головний вектор сил інерції . Внаслідок симетрії результуюча пара сил з моментом, що дорівнює головному моменту сил інерції відносно центра мас, лежить у площини симетрії. Таким чином, при обертанні такого тіла навколо нерухомої осі , де . Отже

ε.

(6.15)

3). Плоский рух у кожний момент, як відомо складається з поступального разом з полюсом і обертального навколо полюса. Нехай, однорідне тіло має площину симетрії і рухається паралельно їй. Внаслідок симетрії головний вектор і результуюча пара сил інерції, також як і центр мас тіла, лежать в площині симетрії. В цих умовах, якщо центр приведення помістити в центрі мас С тіла, одержимо головний момент сил інерції від обертання тіла навколо центра мас згідно із (6.15) ε і головний вектор сил інерції від поступального руху тіла разом із центром мас, згідно із (6.13)

Таким чином, у даному випадку, при плоскому русі твердого тіла, його сили інерції зводиться до головного вектора і головного моменту, які визначаються за формулами:

.

(6.16)