Лекція 6. Принцип даламбера. Метод кінетостатики. Динамічні реакції в’язей

Мета: Сформувати у курсантів знання та навички, які відповідають компетенціямКЗН-4, КЗН-5, КІ-1, КІ-2. Ознайомити курсантів зпринципом Даламбера і методами кінетостатики.

План лекції:

1. Сила інерції

2.Принцип Даламбера для механічної системи і матеріальної точки. Рівняння кінетостатики

3. Головний вектор і головний момент сил інерції та їх обчислення

4. Визначення додаткових динамічних реакцій опор рухомого тіла

5. Статичні і динамічні тиски при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі

6. Динамічне урівноваження мас. Положення про дві точечні маси

1. Сила інерції

Якщо в задачі механіки треба знайти рух або умови рівноваги будь-якого матеріального об’єкта, то складають рівняння руху або рівноваги цього об’єкта, до яких входять тільки сили, які діють на нього, але не включають сили, з якими він діє на оточуючи тіла.

Але в динаміці є і такий метод розв’язування задач, де поряд з силами, прикладеними до даної матеріальної точки і надаючими їй прискорення, враховують також і сили, з якими дана точка протидіє тілам, надаючи їм прискорення. Цей метод розв’язування задач динаміки називається методом кінетостатики, так як він формально переводить рівняння руху точки у рівняння її рівноваги.

Нехай діюча на матеріальну точку система сил надає їй прискорення . Тоді, згідно основного рівняння динаміки,

(6.1)

Система сил протидії, прикладена до тіл, які викликають прискорення точки , за третім законом динаміки дорівнює Позначимо цю векторну суму сил протидії буквою і назвемо силою інерції точки, так що Підставляючи це значення сили інерції в (6.1) дістанемомо:

.

(6.2)

Таким чином, сила інерції матеріальної точки дорівнює добуткові її маси на прискорення і напрямлена в сторону, протилежну прискоренню.

Прискорення точки відносно інерціальної системи відліку можна розкласти на складові по осям координат, на дотичне і нормальне прискорення, а також на переносне, відносне прискорення і прискорення Коріоліса, якщо рух точки вважати складним. Відповідно силу інерції згідно(6.2) можна розкласти на такі самі складові, як і прискорення:

де

- проекції прискорення точки на осі координат;

- дотична сила інерції; - дотичне прискорення;

- нормальна або центробіжна сила інерції; - нормальне прискорення;

- переносна сила інерції; - переносне прискорення;

- відносна сила інерції; - відносне прискорення;

- коріолісова сила; - прискорення Коріоліса.

2. Принцип Даламбера для механічної системи і матеріальної точки. Рівняння кінетостатики

Нехай до довільної точки невільної системи п матеріальних точок прикладена активна сила і реакція в’язі . Тоді для і-тої точки основне рівняння динаміки невільної системи буде мати вигляд:

Цьому рівнянню можна надати вигляд рівняння статики. Перепишемо його у вигляді

або, згідно (3.2),

.

Запишемо такі рівняння для кожної точки механічної системи. При цьому одержимо систему п рівнянь:

(i = 1, 2,…, j,…, n).

(6.3)

Ці рівняння виражають принцип Даламбера для механічної системи:

Під час руху механічної системи в кожний момент часу задані сили, прикладенні до точок системи, і реакції в’язей зрівноважуються силами інерції умовно прикладеними до всіх точок системи.

Для однієї матеріальної точки принцип Даламбера виразиться співвідношенням:

(6.4)

і формулюються таким чином: якщо в будь-який момент руху матеріальної точки, крім фактично діючих на неї активних сил і реакцій в’язей, умовно прикласти її силу інерції, то одержимо зрівноважену систему збіжних сил.

Додаючи всі рівняння (6.3) почленно дістанемо:

.

Перша сума є головним вектором всіх активних сил, прикладених до системи; друга сума є головним вектором реакцій в’язей , а остання є головним вектором сил інерції всіх точок системи. Таким чином, можна написати, що

(6.5)

тобто в кожний момент руху векторна сума головних векторів активних сил, реакцій в’язей і сил інерції точок механічної системи дорівнює нулю.

Виберемо за полюс центр мас системи (точку С ) і проведемо з нього до точки радіус-вектор . Помножимо векторно кожне з рівнянь (6.3) на відповідний радіус-вектор і додаємо всі добутки почленно. Остаточно матимемо:

(6.6)

Перша сума є головним моментом всіх активних сил, діючих на систему; друга сума – головним моментом реакцій в’язей системи, а остання – головним моментом сил інерції точок системи відносно її центра мас С.

Отже, згідно (6.6) маємо:

(6.7)

тобто в кожний момент руху сума головних моментів активних сил, реакцій в’язей і сил інерції механічної системи відносно центра мас дорівнює нулю.

При обчислюванні головних векторів і і головних моментів і активних сил і реакцій в’язей треба враховувати тільки зовнішні сили, так як головний вектор і головний момент внутрішніх сил дорівнює нулю.

Двом векторним рівнянням (6.5) і (6.7) відповідають шість рівнянь в проекціях на осі декартових координат, які називаються рівняннями кінетостатики:

(6.8)

Шість рівнянь кінетостатики (6.8) повністю визначають рух твердого тіла. Саме так і рівновага твердого тіла повністю визначається відповідними шістьома рівняннями статики. Якщо розглядається система, яка складається з декількох тіл, то можна скласти відповідні рівняння кінетостатики для кожного тіла зокрема.

Зі сказаного вище випливає, що застосування метода кінетостатики для твердого тіла вимагає перш за все вміння знайти головний вектор і головний момент його сил інерції. Знаючи їх проекції на вибрані осі координат, можна скласти рівняння кінетостатики і знайти невідомі величини.