Примеры решений заданий лабораторной работы

1. Пусть R = 2,81; Н = 19,05. Вычислить величину V = R²Н , произвести итоговую оценку точности вычислений.

Полагая  = 3,1416, вычислим величину V без округления промежуточных резуль­татов. Получим следующее значение: V = 472,56169 .

Задача состоит в том, чтобы оценить V. Поскольку выражение для V содержит по существу только операцию умножения то, проще вывести формулу для V, а затем по формуле связи получить и V. Применим формулы Ф.2, Ф.З; сразу получаем:

() V = + 2R + Н.

Из условий задачи:

 = 0,00005 , R = 0,005 , Н = 0,005

по формуле связи получаем:

 = 0,00002 , R = 0,002 , Н = 0,0003

Подставляя в (), получаем V = 0,0044, затем формула V = |V|·V дает:

V = 2,08 .

Это означает, что в результате верны лишь. первые две цифры:

V = 473 ± 3.

Второй способ. Вывести оценку для V можно также с помощью формулы Ф.5:

V = R²H· + 2RH·R + R²·Н.

Подстановка данных в правую часть формулы дает несколько иной результат :

V = 1,82. Тем не менее окончательный ответ тот же: V = 473 ± 3.

2 . Вычислить значение выражения

для Х = 0,381 и Y = 2,067. Оценить величину V.

а) Результаты всех промежуточных операций и оценки их точности оформим в виде таблицы. Поскольку для оценки точности удобнее иметь абсолютную погрешность ре­зультата, мы на каждом шаге будем выбирать наиболее простой путь ее вычисления, где прямо, как в случае сложения и вычитания, а где через относительную погреш­ность, используя формулу связи. Некоторые погрешности могут не понадобиться, со­ответствующие клетки таблицы останутся незаполненными. По значению абсолютной погрешности промежуточного результата можно судить о верных цифрах. Первую сом­нительную цифру результата будем подчеркивать. При желании остальные сомнитель­ные цифры можно округлять в процессе расчетов: на окончательный результат это не должно существенно повлиять.

Операции	Показания индикатора	Оценка точности		Комментарий
			
Х	0,381	0,0005	0,0013
Y	2,067	0,0005
X2	0,145161	0,0004	0,0026	Сначала находим (Х 2), затем (Х2) по формулам Ф.З и связи соответственна.
eY	7,9010841	0, 004		По Ф.4 находим (еY).
In Y	0,72609826	0,0004		С помощью Ф.4 вычисляем (lnY).
Х + InY	1,1070982	0,0009	0,00082	По Ф.1 находим . По формуле связи на­ходим ; это понадобится в дальнейшем.
X2+eY	8,0462451	0,0044	0,00055	Аналогично предыдущей операции.
Z	7,2678693	0,011	0,0014	По Ф.2 находим Z, затем по формуле связи Z.

Окончательный ответ: Z = 7,268 ± 0,012. Если оставить только верные цифры, то Z  7,3.

б) Результаты промежуточных операций и оценку их точности оформим в виде таблицы аналогично пункту а). Метод подсчета верных цифр оценивает точность, каждой операции без вычисления погрешностей  и . Поэтому две соответствующие колонки предыдущей таблицы заменены одной - в ней записан округленный результат в соот­ветствии с правилами П.1 - П.5. Сомнительные цифры будем подчеркивать только в этой колонке.

Обратите внимание: числа во второй колонке таблицы несущественно отличаются от соответствующих чисел предыдущей таблицы. Это объясняется тем, что согласно методу подсчета верных цифр промежуточные результаты округляются перед очередной операцией. Однако допустимо использовать в расчетах и неокругленные промежуточ­ные результаты, если это удобнее; на окончательный результат это практически не повлияет.

Операции	Показания индикатора	Оценка точности	Комментарий
Х		0,381
Y		2,067
Х2	0,145161	0,1452	Используем П.2. Количество значащих цифр сомно­жителей одинаково - по 3. Значит, в результате верными считаем тоже 3 цифры. В соответствии с П. 5 оставляем одну сомнительную цифру.
eY	7,9010841	7,901	e 2,067  7,9010841 . Значит, по П.З k = 1. Поэтому в результате количество верных десятич­ных знаков на 1 меньше, чем в аргументе.
Х2 + eY	8,0462	8,046	Т.к. во втором слагаемом всего 2 цифры после запятой, то (по П.1) результат тоже округляем до 2-х цифр после запятой (плюс одна сомнительная).
In Y	0,72609826	0,7261	| (lnY)' | = |1 / Y| = 1 / 2,067. По П.З сохраняем в результате столько же знаков после запятой, сколько их было в аргументе.
InY + X	1,1071	1,1071	По П.1 сохраняем 3 цифры после запятой плюс одну сомнительную.
Z	7,2676361	7,27	По П.2 результат округляем до 3-х значащих цифр. Сомнительную цифру не оставляем.

Итак, данный метод дает ответ: Z  7,27. Сравнивая его с неокругленным отве­том пункта а), видим, что полученные оценки погрешности по существу оказались близки, хотя формально строгий метод дал на одну верную цифру меньше.