Лекции / Лекция 11

Лекция 11

Селективная выборка

(или метод фиксированной последовательности)

При стратификации опыты строятся таким образом, чтобы значение стратифицирующей переменной определенное число раз попадало в каждый слой. В рассмотренном методе тип событий фиксируется внутри имитационного опыта. Поэтому все опыты имеют один вид.

Пусть в модели имеется только одна случайная входная переменная W, причем она является дискретной, и известны вероятности

P(W = w_i)=P_i, (i=1,M).

где M – кол-во возможных значений случайной величины.

Пусть требуется m значений случайной величины в одном имитационном опыте. Обозначим через V_i количество раз, когда случайная величина W принимает значение w_i. V_i будет случайной величиной, причем математическое ожидание: E(V_i)=P_im.

Имитационные опыты построим так, чтобы при их проведении величина V_i была не случайной, равнялась всегда одному и тому же числу V_i=P_im, где

В общем случае величина P_{i *} m не будет целым числом. Поэтому все V_i выбираются такими, чтобы минимизировать величину:

при условии, что

Найденное значение обозначим V_i^* (i=1,M).

Т. о., число появлений возможного значения w_i в имитационном опыте определено и равно V_i^* . Однако порядок их появлений не задан.

Выборка производится так, чтобы появление каждого порядка имело одну и ту же вероятность. Технически это реализуется с помощью выборки без возвращения. Технически это реализуется с помощью выборки без возвращения. При этом предполагается, что при получении t-го случайного числа вероятность выбора значения w_i равна:

здесь g_ti – количество раз, сколько значений w_i уже было выбрано в имитационном опыте до t-го шага.

Эксперименты показали, что дисперсия при таком проведении имитационного опыта снижается более чем на 50 %. Однако процедура дает смещенные результаты.

Описанную процедуру можно обобщить на большее число типов входных переменных и на случай, когда они являются непрерывными. Для каждой входной переменной определяем количество значений, появляющихся в каждом имитационном опыте, и выбираем их по тому же алгоритму. Область возможных значений случайных непрерывных величин мы разбиваем на М классов так, чтобы в каждом из них оказалось по 1/M долей наблюдений. И в качестве возможных значений w_i используем медианы соответствующих классов.

Метод регрессионной выборки

В данном методе выборочный процесс сам по себе не управляется, здесь значение отклика подправляется в конце имитационного опыта. Исправление производится с помощью контрольной величины, определяемой следующим образом: пусть при имитации имеется одна входная случайная величина y. В ходе опыта она принимает значения: y₁,y₂,…,y_m.

Ее среднее выступает в качестве контрольной величины. При моделировании мы знаем закон распределения случайной величины y. Значит, мы можем определить ее математическое ожидание:

.

После проведения имитационного опыта мы можем подправить оценку отклика x по формуле: , здесь а - некоторая константа, не изменяющаяся в течение одного имитационного опыта.

Подправленная оценка х_c будет несмещенной:

Дисперсия этой функции определяется по формуле:

.

Определим, когда дисперсия подправленной оценки Xc меньше дисперсии оценки отклика х. Возможны два случая:

1. а>0, тогда (*).

( - СКО, – коэффициент корреляции)

2. a<0, тогда(**).

Т.о., если x и положительно коррелируют, то дисперсия понижается, если константа а>0, и удовлетворяет неравенству(*).

Для отрицательной корреляции справедливо соотношение(**).

Для нахождения оптимального значения константы а требуется продифференцировать по а выражение дисперсии X_c, и приравнять к нулю. При этом мы получим, что

.

При этом минимальное значение дисперсии будет:

.

Это соотношение показывает, что чем больше коррелируют величины x(отклик) и (среднее значение входа), тем сильнее понизится дисперсия подправленной оценки откликов.

Недостатком этого метода является то, что теоретическое значение корреляции (х, ) получить крайне затруднительно. Поэтому обычно берут оценку коэффициентов корреляции, построенную по n предыдущим имитационным опытам. При этом оценка оптимальных коэффициентов будет:

.

В случае, когда имеется несколько разных входных переменных, оценка с множественной контрольной величиной будет следующей:

.

Здесь ,

.

Здесь y_it– t-ое наблюдение входной переменной i-го типа в имитационном опыте. Эта оценка будет не смещенной, величина ее дисперсии зависит от выбора коэффициентов а_i. Для их определения, удобнее взять контрольные величины с нулевым математическим ожиданием:z_i=-_i, т.е.

.

Реалистично предположить, что контрольные величины z_i независимы в совокупности. Это справедливо для большинства имитационных моделей.

Для независимых контрольных величин мы получим:

Оптимальное значение коэффициентов a_i можно определить, взяв частные производные по а_i, и приравняв их к нулю.

.

Поскольку математическое ожидание E(z_i)=0, то

Простая оценка этих коэффициентов будет:

.

Эксперименты показывают понижение дисперсии от 15 до 90 %.