Лекции / Лекция 4

Лекция 4

Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания (ТМО) предназначена для анализа поведения систем массового обслуживания (СМО). Строимые здесь модели СМО опираются на теорию вероятностей, т.е. представляют собой математические вероятностные модели.

Рассмотрим основные понятия ТМО.

СМО представляет собой обслуживающий прибор или набор обслуживающих приборов (иногда используется термин канал или каналы обслуживания).

К обслуживающему прибору на его вход поступают требования. Эти требования обслуживаются прибором в каком-либо порядке, называемом дисциплиной очереди. Каждое требование, приходящее на обслуживание, в случае, если прибор свободен, занимает его, начиная обслуживаться. Если же прибор занят, то становится в очередь на обслуживание. Обычно предполагается, что поток поступления требований случаен, и время обслуживания каждого требования случайно. Помимо этого, требования могут группироваться по критерию приоритетности.

Важной характеристикой СМО является дисциплина очереди. Наиболее распространенные дисциплины: FIFO (первое поступившее требование обслуживается первым), LIFO (последнее поступившее требование обслуживается первым), GD - случайное обслуживание требований. Помимо этого необходимо иметь в виду такую характеристику обслуживающей системы, как допустимую вместимость буфера ожидания (допустимая max длина очереди).

Кроме того, учитываются факторы, порождаемые природой источника требования. Этот источник может порождать либо конечное, либо бесконечное число требований.

Любую систему СМО будем характеризовать следующей записью:

( a / b / c) : ( d / e / f )

здесь параметр а определяет закон распределения моментов появления требований;

b - закон распределения времени обслуживания требований;

c - количество параллельных функционирующих приборов обслуживания;

d - дисциплину очереди;

e - максимальное число допускаемых в систему требований;

f - емкость источников, генерирующих требования.

Особую роль в теории массового обслуживания играют пуассоновское и экспоненциальное распределения.

Пуассоновское распределение характеризует дискретную случайную величину с возможными значениями k = 0,1,2,3,... с вероятностями

,

Для этой случайной величины математическое ожидание совпадает с дисперсией E(X) = var(X) = ,  - интенсивность потока.

Экспоненциальное распределение характеризует случайную непрерывную величину и имеет плотность распределения:

Математическое ожидание: E(X) = 1/.

Между этими двумя распределениями существует тесная связь. Когда временные интервалы между моментами последовательных поступлений требований распределены экспоненциально со средним значением 1/, тогда число прибытий требований в интервале времени длины t характеризуется пуассоновским законом распределения со средним значением, равным *t.

Пример:

Пусть в систему поступают сообщения, и интервалы времени между поступлением сообщений распределены по экспоненциальному закону. Среднее время между моментами поступления сообщений равно 5 сек., т.е. интенсивность =60:5=12 сообщений в минуту. Все сообщения в системе регистрируются на магнитном носителе. Требуется оценить объем внешней памяти, необходимый для регистрации всех сообщений, поступивших в течение часа. Эту оценку можно сделать, вычислив среднее количество поступивших в течение часа сообщений:

*t = 12*60 =720 сообщений.

Можно вычислить вероятность того, что число поступивших сообщений за час не будет превышать величины к, т.е. P (x ).

Вычислить это значение к для требуемой вероятности.

, т.e.

.

– первое число, при котором указанная сумма будет превышать вероятность .

Для этой системы можно оценить вероятность того, что запоминающее устройство будет простаивать в течение минуты.

.

В описанном примере был рассмотрен процесс чистого рождения, когда рассматривается только вход системы массового обслуживания, куда поступает сообщение. Если рассмотреть процесс на выходе СМО, в предположении, что она начинает функционировать, имея N требований, готовых для обработки, и не принимая больше требований на вход, то мы будем иметь процесс чистой гибели.

Предположим, что первоначально в системе находится N требований, и они выбывают из системы согласно пуассоновскому закону распределения с интенсивностью . Тогда вероятность того, что за время t будет обслужено n сообщений, есть:

Если же нас интересует вероятность того, что через время t в системе останется n требований, то:

Пример:имеется технологический объект, который контролируется 15-ю датчиками, и система управления построена таким образом, что сведения от всех датчиков приходят одновременно. Результаты обработки сведений от датчиков должны быть выданы не позднее, чем через 6 секунд после их получения. Те сообщения, которые не будут за это время обработаны, в дальнейшем не используются. Обработка сообщений осуществляется в соответствии с пуассоновским законом распределения с интенсивностью =3 сообщения/сек. Как только число необработанных сообщений снижается до 5, делается запрос на новое сканирование датчиков.

Проанализируем эту систему. Вычислим вероятность того, что в t-тую секунду потребуется формировать запрос на получение информации.

.

t	1	2	3	4	5	6
p5(t)	0.0008	0.0413	0.1186	0.1098	0.0486	0.0150

Наиболее вероятный момент, когда в системе окажется 5 необработанных сообщений, – это 3-я секунда.

Если требуется узнать вероятность, с которой новый запрос потребуется давать не позднее, чем в t-тую секунду, то необходимо вычислить вероятность того, что в t-тую секунду в системе окажется не более, чем 5 требований

.

t	1	2	3	4	5	6
P (t)	0.002	0.0839	0.4126	0.7576	0.9303	0.9847

Исходя из этой таблицы, можно оценить, когда с заданной вероятностью возникает необходимость делать запрос на новое обращение к датчикам, то есть определить режим их работы.

Для анализа ситуации можно рассмотреть среднее число сообщений, которые не будут обработаны системой.

Например, для 6-ой секунды мы имеем:

.

Таким образом, сообщение меньше, чем от одного датчика, окажется лишним. Конкретизируем обозначения параметров модели. Будем обозначать:

М– пуассоновский поток требований или экспоненциальное время обслуживания;

D– фиксированный (детерминированный) интервал времени между последовательными моментами поступления требований или постоянное время обработки;

GI– распределение произвольного вида для моментов поступления требований;

G– распределение произвольного вида для времени обслуживания требований;

FIFO, LIFO, GD - дисциплины очереди.