Лекции / Лекция 5

При анализе СМО следует заранее оговориться, какой режим функционирования системы нас интересует. Обычно выделяют 2 режима:

1. Неустановившийся (переходный);

2. Стационарный.

Первый режим наблюдается, когда поведение системы зависит от времени. В СМО, которая начинает функционировать, обычно происходит наращивание числа требований, находящихся в системе в начальный период времени. В период завершения функционирования происходит убывание числа требований в системе. В эти периоды наблюдается переходный режим функционирования.

Через некоторое время после начала функционирования в системе устанавливается стационарный режим. Однако, если интенсивность поступления требований  больше интенсивности обслуживания требований , то стационарный режим функционирования для системы оказывается недостижимым. Очередь будет бесконечно возрастать.

Мы будем рассматривать только стационарные процессы. При этом нас будут интересовать следующие характеристики системы массового обслуживания:

p_n (n=0,1,2,...)– вероятность того, что в системе находится n требований;

L_s– среднее число находящихся в системе требований;

L_q– среднее число требований, находящихся в очереди на обработку;

W_s– среднее время пребывания требований в системе;

W_q– среднее время пребывания требований в очереди.

По определению:

с– количество обслуживающих приборов.

Кроме того, существует связь между количеством требований и временем пребывания в системе и в очереди, которая определяется интенсивностью прибытия требований .

В случае, когда частота поступления требований равна , но не все они могут попасть в систему (из-за ограниченности буфера очереди), в данное соотношение необходимо ввести изменение. Для этого введем в рассмотрение коэффициент _эфф.– эффективная частота поступления заявок, то есть количество требований, действительно допущенных в блок ожидания СМО в единицу времени:

В общем случае описанной ситуации 0< _эфф. < . Значение этого коэффициента можно вычислить в зависимости от L_s и L_q. По определению средняя продолжительность нахождения требования в системе равна среднему времени нахождения в очереди плюс среднее время обслуживания.

Если интенсивность обслуживания требований равна , то среднее время обслуживания есть 1/, то есть:

.

Умножим данное выражение на и получим:

.

Данное соотношение справедливо и в случае замены  на _эфф., то есть

.

При анализе СМО основное внимание будет уделяться получению формул для p_n. Из этих чисел можно получить все остальные характеристики

.

Пример: рассмотрим систему реального времени, реализованную на однопроцессорном вычислительном комплексе. Пусть среднее число требований, поступающих в систему за минуту, =3, а средняя скорость их обработки =8. Пусть известно p_n

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
рn	00.625	0.234	0.088	0.033	0.012	0.005	0.002	0.001	0

Тогда характеристики системы будут:

Перейдем к рассмотрению некоторых моделей СМО.

Модели будут различаться свойствами входного и выходного потоков, числом обслуживающих приборов, максимальной длиной очереди и т. д. Мы будем рассматривать СМО, находящуюся в стационарном режиме. Это означает, что вероятность p_n не зависит от времени. Вывод формулы для вероятности p_n не зависит от дисциплины очереди. Поэтому будем считать, что имеется произвольная дисциплина очереди GD.

Модель (М/М/1):(GD/)

В данной системе мы имеем 1 узел обслуживания; входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами  и  соответственно; дисциплина очереди не определена; число сообщений, которые могут находиться в системе, не ограничено; источник требований не ограничен.

Найти p_n(t) - вероятность того, что в любой момент времени t в системе находится n требований. Для этого воспользуемся следующими свойствами пуассоновского потока:

1. Вероятность наступления события (поступление или убытие требований из системы на интервале времени [t,t+h]) зависит только от величины h и не зависит от t (условие стационарности потока).

2. Вероятность реализации события на бесконечно малом временном интервале >0, но <1.

3. На бесконечно малом временном интервале реализуется не более одного события (условие ординарности потока).

р(Х)– вероятность того, что в момент t+h в системе окажется n требований, где h - бесконечно малый интервал времени.

Событие X можно представить в виде суммы трех несовместных событий:

.

A– заключается в том, что в момент времени t в системе находилось n требований, и за интервал h ни одного события не произошло;

В– в момент t находится (n-1) требование, за h– прибавилось одно требование;

С– в момент t находится (n+1) требование, за h – одно требование убыло.

Каждое из этих событий мы можем представить в виде произведения трех других событий:

События с индексом 1 связаны с состоянием системы в момент времени t:

События с индексом 2 связаны с прибытием требований в систему за интервал времени h:

События с индексом 3 связаны с убытием требований за время h:

Таким образом,

Если n=0, то

Вычтем из обеих частей p_n(t), разделим на h и устремим h к 0. Получим систему дифференциальных уравнений:

Если решить данную систему в зависимости от t, то полученные решения p_n(t) будут описывать СМО в переходном режиме.

Поскольку нас интересует стационарный режим, в котором вероятности не зависят от времени, то мы имеем соотношение:

Т.о., для стационарного режима мы имеем:

,

или

Разделим обе части на и введем коэффициент :

.

Здесь мы имеем соотношения, связывающие элементы последовательности p_о,p₁,p₂,....