Лекции / Лекция 7

Лекция 7

Модель (М/G/1):(GD//)

В этой модели мы имеем пуассоновский входной поток, и произвольный закон распределения для времени обслуживания каждого сообщения. Об этом законе распределения делаются следующие предположения: среднее время обслуживания существует и равно Е, дисперсия также существует, равна V и является конечной. Помимо этого, выполняется условие стационарности:

.

В данных предположениях для среднего числа требований, находящихся в системе, справедлива формула Поллачека-Хинчина:

.

Отсюда следует:

Пример.

В систему реального времени поступают требования с интенсивностью  = 5 требований/мин. Для обработки каждого требования необходимо одно и тоже время t = 10 сек.

Рассмотрим оперативные характеристики системы:

Модель (GI/M/1):(GD//)

Здесь мы имеем произвольный поток входных требований. Время обслуживания экспоненциально.

Пусть a(t) – плотность распределения времени между поступлениями требований в систему;  - параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания.

Введем в рассмотрение функцию:

.

Обозначим через  корень уравнения A(x) = x.

Вероятность того, что в системе будет находиться ровно n требований:

.

Соответственно, все оперативные характеристики будут:

Системы массового обслуживания с приоритетами

При рассмотрении подобных систем предполагается, что у входа в блок обслуживания формируется несколько очередей. В каждой очереди собираются требования, имеющие одинаковый уровень предпочтения при обслуживании. Если имеется m очередей, то будем считать, что первая очередь имеет наивысший приоритет, вторая очередь - приоритет ниже и m-тая очередь - низший приоритет. Частота поступления требований с каждым приоритетом и продолжительность их обслуживания могут быть неодинаковыми.

Мы будем рассматривать случай, когда в каждой очереди дисциплина обслуживания будет FIFO. Кроме того, предполагаем, что обслуживание будет производиться без прерывания, то есть уже начавшее обслуживаться требование будет обслуживаться до завершения, даже если поступило требование с более высоким приоритетом. В таких предположениях дисциплина обслуживания обозначается NPRP.

Рассмотрим ситуацию, когда входной поток является пуассоновским, а время обслуживания подчиняется произвольному закону распределения, то есть рассматривается модель (M_i/G_i/1):(NPRP//).

Пусть имеется m очередей и для k-той очереди входной поток требований пуассоновский с параметром _k. Математическое ожидание времени обслуживания Е_k и дисперсия обслуживания V_k.

Обозначим:

Если все S_k будут меньше 1, то данная система массового обслуживания выходит на стационарный режим.

Обозначим - оперативные характеристики для k-той очереди. Для них справедливы следующие соотношения:

Пример.

В систему реального времени поступают требования трех типов: сверхсрочные, срочные и обычные. Закон распределения числа поступивших требований каждого типа - пуассоновский со средними значениями: ₁=4, ₂=3, ₃=1 (сообщение/мин.). Время обработки сообщений первого типа Е₁=1/10 мин., второго - Е₂=1/9 мин., третьего Е₃ - 1/5 мин. Дисперсия равна 0.

Все S_i<1, следовательно, система выходит в стационарный режим функционирования. Для вычисления оперативных характеристик найдем сначала сумму:

Теперь можем найти все характеристики: