3. Основные элементарные функции, их графики и основные свойства

Как и ранее – область определения, – множество значений функции .

1. Степенная функция .
, , в зависимости от значения показателя , области и могут расширяться (см. следующий пункт).	График Рис.1.
2. – частный случай степенной функции, .
, . Свойства:	График

3. Показательная функция
, . Свойства:	График при любом значении проходит через точку с координатами . 0< a <1 Рис.3.
4. Логарифмическая функция ,
, . Свойства , , .	График при любом значении проходит через точку с координатами . Рис.4.
5. Тригонометрические функции
Синус , . Свойства: Рис.5.	Косинус , . Свойства: , Рис. 6

Тангенс , . Свойства: , , Рис.7.	Котангенс , . Свойства: , , Рис.8.
6. Обратные тригонометрические функции
Арксинус , Свойства: Рис.9.	Арккосинус , Рис.10.
Арктангенс , Свойства: Рис.11.	Арккотангенс , Рис.12.

4. Композиция функций

Пусть множество значений функции содержится в области определения функции . Тогда может быть определена композиция или суперпозиция двух функций или, что то же, сложная функция: , и ее область определения совпадает с областью определения функции .

Запишем иначе: если и , где , то сложная функция , т.е. функция реализует идею: «сначала применяй , затем применяй ». Таким образом, .

Для более чем двух функций композицию обозначают .

Примеры. 1. Композицией функций и будет .

2. Композицией функций , , является .

3. Сложную функцию представим цепочкой основных элементарных функций: , , , , ; таким образом, – «пятисложная» функция.

Отметим, что всякую композицию из основных элементарных функций можно представить в виде цепочки из основных элементарных функций (что удобно использовать при решении практических задач, например, при дифференцировании сложных функций).

Заметим еще, что нельзя бездумно манипулировать формулами для получения более сложных функций. Так композиция функций , и приводит к функции , но формула не имеет смысла. Действительно, при любом принимает значения от нуля до единицы, и, значит, , а так как логарифм отрицательного числа не определен, то не существует.