3.8.2.6.Чем отличается натуральное исчисление высказываний от аксиоматически-дедуктивного исчисления высказываний?

Разница несущественная, но формализация методов доказательства в этом исчислении выглядит более естественным, чем в аксиоматически-дедуктивном исчислении высказываний классической логике.

Структура языка натурального исчисления высказываний совпадает со структурой аксиоматически-дедуктивного исчисления высказываний, единственным различием является: отсутствие изначально заданного списка аксиом без предварительного доказательства. Но зато в нем есть множество правил ввода и исключения всех логических связок и правил замены равнообъемных формул, установленных по таблицам истинности.

Пример правил ввода и исключения в доказательствах: Если А-истинно и В- истинно, то в доказательство разрешатся включить истинную формулу А&В.

Правило исключения этой логической связки: если в доказательстве выведена формулу А&В, то в доказательстве можно . использовать А и В по отдельности.

Другой пример, исключение дизъюнкции в доказательстве. Е

сли доказана формула (АvВ) и доказано, что имеет место (7В), то тогда следует признать доказанной формулу (А).

Пример косвенного доказательства в натуральном исчислении высказываний.

0.Нужно доказать закон исключенного третьего (Аv7А).

Предположим, что он ложен, тогда он преобразуется в формулу с отрицанием:

1.неверно, (Аv7А).

2. Применим к этой формуле закон де Моргана для логической дизъюнкции и закон двойного отрицания:

Получаем формулу (7А&А)

3.Исключая конъюнкцию из этой формулы,

получаем доказанную формулу(А) и доказанную формулу (7А) т.е. противоречие.

4. Следовательно. Из формулы ((неверно,что (Аv7А )) следует( →)формула-(7А&А).

Значит, по закону Клавия, наше косвенное допущение об истинности формулы (неверно,что (Аv7А)) является ложным.

Законы де Моргана (англ. логика 19 века А. де Моргана были известны средние века, но за символической их записью закрепилась имя этого логика):

1) отрицание дизъюнкции

«7(А vВ)»= «(7А &7В)».

2) отрицание конъюнкции «7(А &В)»= «(7А v7В)».

Закон двойного отрицания был известен античным логикам:

« 77Р→Р».

3.9.Пример языка исчисления предикатов классической логики.

По своему логическому существу исчислениях предикатов - это достаточно глубокий и эффективный формализованный язык ( языки) логики, позволяющий исследовать широкий класс рассуждений, используемый в различных сферах деятельности человека.

В точном смысле исчислении предикатов – это логический аппарат, с помощью которого сформулированы логические законы и правила, используемые в рассуждениях в разнообразных видах рациональной деятельности человека.

Центральным термином этого исчислении является понятие предиката (от лат.praedicatum- cказанное о чем либо как свойстве или отношении).

Например, понятие человек означает множество существ, о каждом из которых можно сказать, что оно обладает свойством « быть человеком».

В формальной записи это сказанное можно представить так: « х есть человек или Р(х)), где Р- означает любое свойство, в данном случае, свойство «быть человеком».

Формула Р (х)- это схема обозначения одноместных предикатов как свойств предметов и свойств отношений между предметами: Р (х),Р (у),Р (z),Q (х),Q (у) и т.д.

Другой пример уже двухместных предикатов: Х любит У. Здесь сказывается, что между двумя предметами(живыми существами) есть определенное отношение, в данном случае отношении «любви».

Схема обозначения двухместных предикатов имеет вид:

Р(х, у ),Р (у,z),Р (z,t),Q (х,m),Q (v,у) и т.д.

Схема обозначения для трехместных предикатов- R(х, у,z),для n-местных предикатов- R(х, у,z,…n)и т.д. Пример R(х, у,z)- «х находится междуz и у).

3.9.1. Понятие предиката позволяет расширить логический аппарат логики высказываний для исследования умозаключений, рассуждения, для осуществления которых нужно знать структуру простых атрибутивных суждений, суждения с отношения и суждения существования.

Суждения существования - это суждения, в которых говорится о существовании или не существовании чего-либо ( свойства, отношения или предметов как абстрактных , так и конкретных). Указанные выше суждения играют важную роль в математических, правовых и во многих видах рассуждений человека.

Умозаключения с использованием простые атрибутивные категорические суждения исследовал Аристотель.

Его силлогистику иногда называют исчислением имен. Он использовал простые атрибутивные категорические суждения следующего вида:

Все S есть P.(А).

Некоторые S есть P.(I)

Ни один S не есть P.(E).

Некоторые S не есть P.(O).

Это есть Р. Трактуется как «А».

Это не есть Р. Трактуется как «Е».

Умозаключений у него строится следующим образом: