2)Производные правила. Эти правила расширяют и упрощают доказательства с помощью основных правил.

3.8.2.3.Что, собственно, новое внесла логика высказываний классической логики в понимание доказательства и вывода?

Во-первых, с созданием аксиоматического построения классической логики высказываний произошел крутой поворот в понимания доказательства в аксиоматических дедуктивных языках логики, математики и программирования.

Во-вторых, появилась символическая или математическая логика, основанная на таком важном логическом методе дедуктивного доказательства, как теорема дедукции.

В- третьих, аксиоматическое построение классической логики высказываний способствовало развитию методов формализации и методологии развития исследования неклассической логики.

Остановимся на теореме дедукции. Термин принадлежит выдающемуся математику Д.Гильберту, а ее использование методологии доказательства формализованных языках было представлено рядом логиков 30-ых годов прошлого века.

3.8.2.4.Теорема дедукции.С.82.

Содержание теоремы дедукции в качестве метода допущений доказательствах в аксиоматических дедуктивных языках (теориях) сводится к следующему:

1)Для доказательства сложной формулы вида (если а, то в), где а-антецедент, основание, а в – консеквент, вывести из а его следствие в по правилам вывода данного языка (теории).

2)В символической записи теорема дедукции для аксиоматических дедуктивных языков логики с правилом отделения имеет вид:

«Если из множества (Г) и формулы ( а), доказанной в данном языке, можно доказать, что формула (в) есть следствием формулы (а), то формула ( а→в ) также принадлежит множеству (Г)». Здесь (Г)- множество аксиом, а также формул (теорем), доказанных в данном языке с применением его правил вывода.

В случае, когда в языке логике высказываний нет аксиом, множество (Г) будет состоять из формул (теорем), доказанных с применением основных и производных правил вывода языка логики высказываний.

Производные правила вывода существенно сокращают длину доказательства, но без них можно обойтись, используя только основные правила вывода.

Пример дедуктивного доказательства на основе теоремы дедукции.

Доказать - ((( а→ в)→ ( в→ с )) → ( а→ с)). Используя пункт (1) теоремы дедукции, выделим последовательность антецедентов и консеквентов в этой формуле ((( а→ в)→ ( в→ с ))

- антецедент для формулы ( а→ с); ( а→ в) );

- антецедент для формулы ( в→ с);

а)- антецедент для формулы (с).

Получаем последовательность формул для доказательства формулы (с) из формулы (а) по правилу отделения.

1(а→ в).

2. (в→ с).

3.(а).

4. (в) - правило отделения (1,3)= ((а→ в), а)→в.

5.(с) - правило отделения (3,4) = ((в→ с), в)→ с.

Применяя теорему дедукции к этой последовательности снизу верх, можно восстановить структуру доказываемой формулы.

3.8.2.5. А что такое прямое и косвенное доказательства в классической логике высказываний?

Приведенное выше доказательство называется прямым. В косвенном доказательстве доказывается не сама формула, которую надо доказать, а ее отрицание. В этом случае доказательство сводиться к выводу противоречия в виде формулы (Р& не-Р).

За логическую основу косвенного доказательства берется закон Клавия, логика 16 века, который выявил его применение в доказательстве Евклидом одной из теорем, предполагая, что она изначально является ложной.

Два вида формулы этого закона:

1. ( 7Р→Р) →Р).

2. ((Р→ 7Р) → 7Р).

3. (7Р→(Q&7Q) →Р).

4. (( Р→ (Q& 7Q) → 7Р).

Основной смысл этого закона: Если изначально признаваемого истинным какого-то утверждения по правилам логики выводится противоречие или отрицание этого утверждения, то следует считать, что истинным является не оно само, а его отрицание.

Косвенные доказательства эффективно используются в натуральном исчислении высказываний классической логики.