Указания к выполнению контрольной работы 1

Т е м а 1. Элементы аналитической геометрии

на плоскости

ЛИТЕРАТУРА:

[5], гл. 1–6;

[6], гл. I, § 1–4, упр. 1, 5, 13; гл. III, § 1–4, § 6–7, упр. 1, 5–8, 11, 18;

[7], задачи 3, 28, 63, 64, 82, 87, 95, 99.

Т е м а 2. Основы векторной алгебры

ЛИТЕРАТУРА:

[5], гл. 7–10;

[6], гл. XVIII, упр. 1, 5;

[7], задачи 372, 373, 376, 380, 383, 386, 390, 394, 399, 400, 402, 418, 426, 427, 434, 438, 439, 444.

Т е м а 3. Элементы аналитической геометрии

в пространстве

ЛИТЕРАТУРА:

[5], гл. 11–13;

[6], гл. XIX, § 1–4, упр. 2;

[7], задачи 474, 475.

Т е м а 4. Системы линейных уравнений

ЛИТЕРАТУРА:

[6], гл. XVII, § 7, упр. 9, 11;

[7], задачи 624, 625, 627.

Примеры решения задач

Пример 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: , , . Найти: 1) уравнения сторон треугольника АВС и угловые коэффициенты этих сторон; 2) угол треугольника АВС; 3) уравнение медианы ; 4) уравнение высоты и координаты точки ; 5) уравнение прямой , проходящей через вершину параллельно стороне ; 6) построить на координатной плоскости треугольник , медиану , высоту и прямую .

Решение. 1) Уравнение прямой, проходящей через точки с координатами и на плоскости, имеет вид

. (1)

Подставляя в равенство (1) координаты точек и , получаем уравнение стороны :

; ; ;

; ;

(общее уравнение стороны ).

Выразив из общего уравнения стороны , находим угловой коэффициент прямой :

; , откуда .

Подставляя в равенство (1) координаты точек и , получаем уравнение стороны :

; ; ;

; ;

(общее уравнение стороны ).

Выразив из общего уравнения стороны , находим угловой коэффициент прямой :

, откуда .

Подставляя в равенство (1) координаты точек и , получаем уравнение стороны :

; ; ;

; ;

(общее уравнение стороны ).

Выразив из общего уравнения стороны , находим угловой коэффициент прямой :

, откуда .

2) Тангенс угла между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и вычисляется по формуле:

. (2)

Угол треугольника АВС заключен между прямыми и , угловые коэффициенты которых найдены выше и равны и соответственно. Подставим значения угловых коэффициентов в формулу (2) и найдем:

.

Из последнего равенства следует, что тангенс угла треугольника не существует. По таблице 2, приведенной в разделе Справочный материал, определяем, что .

3) Чтобы найти уравнение медианы , определим сначала координаты точки , которая является серединой отрезка , применяя формулы для координат середины отрезка:

(3)

Подставляя в формулы (3) координаты точек и , находим:

; ; .

Подставим в (1) координаты точек и и найдем уравнение медианы _:

_{; ; ;}

_{; ;}

(общее уравнение медианы ).

4) Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку , имеет вид

. (4)

Высота перпендикулярна стороне . Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых в произведении дают , т.е.

, откуда .

Подставим координаты точки и найденный угловой коэффициент в равенство (4). Получим

; ;

(общее уравнение высоты ).

Найдем координаты точки . Эта точка является точкой пересечения прямых и . Поэтому координаты точки можно найти, решив систему, составленную из общих уравнений прямых и . Решив систему

находим , , т.е. .

5) Так как прямая параллельна стороне , то угловой коэффициент прямой будет равен угловому коэффициенту прямой . Подставив в (4) координаты вершины и угловой коэффициент , получим

; ;

(общее уравнение прямой ).

6) Построим на координатной плоскости (см. рис. 5) треугольник , медиану , высоту и прямую .

Р и с. 5

Пример 2. Даны координаты вершин треугольника : , , . Построить на чертеже треугольник и следующие векторы: 1) и ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Найти: 7) длины сторон треугольника ; 8) углы и треугольника (в радианах с точностью ).

Решение.

1) В декартовой системе координат на плоскости по заданным координатам построим точки , и , соединим их отрезками.

Получим треугольник . Векторы и построим, указав направление на отрезках и (см. рис. 6).

Р и с. 6

2) 3) Вектор направлен также как и вектор и больше его по длине в 2 раза. На рис. 7 вектор . Для построения вектора продолжим отрезок . На рис.7 вектор .

Р и с. 7

4) Вектор направлен в сторону, противоположную вектору , и больше его по длине в 3 раза. На рис. 8 вектор .

Р и с. 8

5) 6) Чтобы построить векторы и , достроим треугольник до параллелограмма . Диагонали построенного параллелограмма с выбранным направлением будут искомыми векторами: и на рис. 9.

Р и с. 9

7) Расстояние между точками на плоскости с координатами и находится по формуле

. (5)

Подставляя в формулу (5) координаты вершин треугольника , находим длины сторон:

,

,

.

8) Найдем углы и треугольника , используя следующую формулу:

, (6)

где – угол между векторами и . Найдем координаты векторов , и их модули:

,

;

,

.

Тогда по формуле (6) получаем

(радиан).

Найдем координаты векторов , и их модули:

,

;

,

.

Тогда по формуле (6) получаем

(радиан).

Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Требуется найти: 1) площадь грани ; 2) объем пирамиды ; 3) расстояние от вершины до плоскости, проходящей через вершины , и .

Решение. 1) Грань пирамиды является треугольником, построенным на векторах и . Найдем координаты векторов и :

,

.

Площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов. Найдем векторное произведение по формуле из раздела Справочный материал, Векторы на плоскости и в пространстве:

.

Модуль векторного произведения

.

Тогда площадь треугольника

(кв. ед.).

2) Пирамида построена на векторах , и . Вектор . Найдем сначала объем параллелепипеда, построенного на векторах , и . Этот объем равен модулю смешанного произведения этих векторов. Найдем смешанное произведение по формуле из раздела Справочный материал, Векторы на плоскости и в пространстве:

.

Тогда объем параллелепипеда

(куб. ед.).

Объем пирамиды

(куб.ед.).

3) Расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и , равно длине высоты пирамиды , проведенной из точки к грани . Из формулы 8 (см. раздел Справочный материал, Основные формулы аналитической геометрии в пространстве) имеем:

, откуда ,

где – объем пирамиды, – площадь грани . Подставляя в последнюю формулу ранее найденные значения и , получим:

(ед.).

Пример 4. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.

Решение. Преобразуем систему к треугольному виду. Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы переменную . Умножим первое уравнение системы на ( ) и сложим его с третьим уравнением системы. Получим:

Умножим первое уравнение системы на ( ) и сложим со вторым уравнением системы:

Исключим из третьего уравнения системы переменную . Умножим второе уравнение системы на ( ) и сложим с третьим.

Получим:

Система приведена к ступенчатому виду. Последовательно найдем значения переменных, начиная с третьего уравнения преобразованной системы: , , .

Рассмотрим пример системы, не имеющей решения.

Пример 5. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса

Решение. Преобразуем систему к ступенчатому виду. Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы переменную . Умножим второе уравнение системы на ( ) и сложим его с третьим уравнением системы. Получим:

Умножим первое уравнение системы на ( ), второе на и сложим их:

Исключим из третьего уравнения системы переменную . Умножим третье уравнение на 3 и сложим со вторым уравнением системы. Получим:

Последнее уравнение преобразованной системы противоречиво, т.к. привелось к неверному равенству при любых значениях переменных , , . Следовательно, данная система решений не имеет.