Определяем устойчивость по критерию Найквиста

Находим комплексный коэффициент передачи для разомкнутой АС, подставляя jω вместо оператора р:

Так как , то j² = – 1, j³ = – j, j⁴ = +1;

тогда:

Чтобы представить комплексный коэффициент передачи в виде комплексного числа, имеющего действительную R(ω) и мнимую J(ω) части, умножим и разделим полученный результат на сопряженное знаменателю комплексное число: (4ω⁴ – 5ω ²) – j(ω – 8ω ³) и получим:

Задавая различные значения частоты ω, находим координаты R(ω) и J(ω) точек годографа комплексного коэффициента передачи.

Лучше начинать нахождение координат точек годографа с характерных точек, а именно: с точки при ω → 0, при ω → ∞, точек, в которых годограф пересекает оси координат, а затем найти координаты промежуточных точек годографа, при необходимости можно найти экстремумы годографа.

При ω → 0 получим: R(ω)_ω→0 = – 40; J(ω)_{ω →0} = – ∞. Это будет хорошо видно, если числитель и знаменатель J(ω) разделить на ω.

Найдем координаты точек, которые являются местом пересечения годографа с осью абсцисс. Для этих точек координата по оси ординат равна нулю, т.е. должно соблюдаться условие:

J(ω) = 0,

т.е. если числитель J(ω) равен нулю, а именно: 64 ω ² – 8 = 0.

Решая это уравнение, находим все его корни:

Для решения используем только положительные значения корней ω = 0,354.

Подставляя найденное значение ω в выражение для R(ω), находим координату искомой точки на оси абсцисс:

По такому же методу найдем координаты точек пересечения годографа с осью ординат.

Положив R(ω) = 0, т.е. когда числитель равен нулю, находим корни уравнения:

При ω → ∞ разделим числитель и знаменатель, R(ω) и J(ω) на ω²:

Итак, годограф при изменении частоты ω от 0 до +∞ имеет направление из бесконечности в III квадранте, пересекает ось абсцисс в точке с координатами [–14,2; j0], переходя во II квадрант, затем пересекает ось в точке с координатами [0; j0,79] и далее, оставаясь в I квадранте, стремится к началу координат. Сведем полученные данные в табл. 3.

Таблица 3.

Сводная таблица

ω	R(ω)	J(ω)	ω	R(ω)	J(ω)
0	– 40	– ∞	0,5	– 6,4	+3,2
0,1	– 36,3	– 67,4	1,12	0	+0,79
0,354	– 14,2	0	∞	0	0

Рис. 2. Годограф Найквиста

Построенный по найденным точкам годограф будет иметь вид, показанный на рис. 2.

Вывод. Замкнутая АС неустойчива, так как амплитудно–фазовая характеристика W(jω) разомкнутой системы охватывает точку с координатами (– 1; j0).

Чтобы определить устойчивость АС по критериям Гурвица и Михайлова, необходимо найти характеристическое уравнение для замкнутой АС.

Выше была получена передаточная функция для разомкнутой системы:

Для замкнутой системы в случае отрицательной обратной связи передаточная функция будет равна:

где знаменатель есть характеристическое уравнение для замкнутой АС, т.е.

4р⁴ + 8р³ + 5p² + р + 8 = 0.