Задача 1

Условие задачи.

Пусть система автоматического управления (САУ), состоит из трех последовательно соединенных звеньев, одно из которых охвачено местной обратной связью (ОС) (звеном 4). САУ, являясь замкнутой системой, охвачена общей отрицательной ОС равной «1».

Определить устойчивость системы по трем критериям: 1) Найквиста, 2) Гурвица, 2) Михайлова.

Выбор варианта задачи.

Выбор звеньев, их дифференциальных уравнений, численных параметров и вида местной ОС производится по табл. 1 и 2 (по двум последним цифрам шифра номера зачетной книжки).

Таблица 1.

Условные обозначения звеньев и их выбор

Цифры шифра	Звенья, охваченные местной ОС	Порядковый номер звеньев
		1	2	3	4 (ОС.)
1	3	А	В	З	К
2	2	А	Б	Е	Л
3	1	Г	В	Д	Л
4	3	А	И	З	К
5	1	Б	А	Е	К
6	2	Д	Б	Г	Л
7	2	Д	В	Ж	К
8	2	Г	И	Ж	Л
9	3	В	Г	И	К
0	1	Д	А	З	К
	Предпоследняя цифра шифра			Последняя цифра шифра

Таблица 2.

Динамические звенья и их уравнения

Условное обозначение звена	Наименование звена	Дифференциальное уравнение звена	Параметры звена
А	Безынерционное (усилительное)
Б	Инерционное (апериодическое 1–го порядка)
В	Интегрирующее
Г	Дифференцирующее (идеальное)
Д	Дифференцирующее (реальное)
Е	Колебательное	при
Ж	Колебательное незатухающее (консервативное)
З	Апериодическое звено 2–го порядка	при
И	Неустойчивое 1–го порядка
К	Корректирующая ОС (отрицательная).
Л	Корректирующая ОС (положительная).

Методические указания к решению задачи № 1.

Система автоматического управления (САУ) является устойчивой, если она самостоятельно возвращается в состояние установившегося равновесия при ограниченном воздействии (возмущении), т.е. реакция такой САУ на ограниченное воздействие также ограничена. На практике реальная САУ постоянно подвергается возмущениям, поэтому устойчивость является необходимым условием работоспособности САУ.

Чтобы установить является ли система устойчивой необходимо:

1. Надлежащая проработка основ теории автоматического регулирования, в частности разделов: динамические характеристики линейных систем, структурный метод анализа САУ, устойчивость линейных непрерывных систем из предлагаемых литературных источников.

2. При изучении необходимо понять физическую сущность устойчивости динамической системы, изучить критерии устойчивости, иметь представления о их достоинствах и недостатках, знать области их применения, уметь определять границы устойчивости, особое внимание уделять анализу влияния на устойчивость передаточных коэффициентов (k) и постоянных времени (Т и τ).

3. В автоматике чтобы установить является ли система устойчивой без трудоемкого решения дифференциальных уравнений, описывающих процессы в САУ, предложен ряд критериев устойчивости, наиболее распространенные из которых применяются при решении задачи № 1. Каждый из критериев имеет свою область применения. Критерием Гурвица целесообразно пользоваться, когда характеристическое уравнение имеет степень не выше четвертой. Критерий Найквиста применяется для анализа одноконтурных систем, критерий Михайлова – для многоконтурных. Эти критерии позволяют по характеристическому уравнению системы или частотной характеристике определить содержит ли передаточная функция полюса, находящиеся на мнимой оси или в правой половине комплексной плоскости (Прил. 1)

Критерий устойчивости Гурвица. Этот критерий был сформулирован математиком А.Гурвицем в 1895 году, и является алгебраическим и связывает расположение корней характеристического уравнения с определенными условиями, которые накладываются на его коэффициенты.

Критерий устойчивости Михайлова. Критерий был сформулирован А.В.Михайловым в 1938 году, и базируется на принципе аргумента функции комплексной переменной. Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс замкнутой системы.

Критерий устойчивости Найквиста. Критерий позволяет определять устойчивость системы с отрицательной обратной связью (так называемой замкнутой системы) по экспериментально снятой или полученной аналитически на основе передаточной функции амплитудно–фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.

Передаточной функцией W(р) звена (регулятора, объекта или системы в целом) называется отношение изображения выходной величины Y(р) к изображению входной величины возмущающего воздействия Х(р) при нулевых начальных условиях:

Любая САР может быть описана на основе элементарных динамических звеньев (называемых также типовыми) и имеющими типовые передаточные функции звена W_з(р). На основе решения структурных схем САУ находят передаточную функцию системы и применяют соответствующие критерии устойчивости.

Методику решения рассмотрим на конкретной задаче, которую рекомендуется решать в следующей последовательности.

По заданным дифференциальным уравнениям звеньев и их параметрам находим передаточные функции этих звеньев. Допустим, что в рассматриваемой задаче получили следующее:

1. 2. 3.

Передаточная функция местной обратной связи:

4.

Изображаем схему алгоритмической структуры САР (рис. 1).

x_вн(р) – внешнее воздействие.

Рис. 1. Структурная схема для рассматриваемой задачи

Находим общую передаточную функцию для разомкнутой АС, для этого имеющуюся замкнутую АС разомкнем (этот разрыв можно сделать между любыми другими звеньями), например, в точке Q.

В этой задаче обратная связь отрицательная W(p)_оc= –1 (поэтому на рис. 1 сектор на условном обозначении суммирующего элемента заштрихован) и при подстановке в формулу для второго элемента, охваченного местной обратной связью, получим:

В случае положительной обратной связи в знаменателе между слагаемыми останется знак «минус».

Общая передаточная функция для разомкнутой системы будет равна

.