Методические указания к решению задачи № 2. Логика высказываний. Основные логические операции

Логика (от греч. logos – слово, рассуждение, разум) – наука о законах и операциях правильного мышления. История логики начинается с трудов Аристотеля (384–322 г.г. до н. э.).

Традиционная логика опиралась на естественный язык. Во второй половине XIX века ей на смену пришла математическая (или символическая) логика, использующая метод построения специальных формализованных языков (исчислений). Это позволяет избежать двусмысленности и логической неясности естественного языка.

Для описания логики функционирования аппаратных и программных средств автоматических систем используется алгебра логики или булева алгебра (по имени создателя – Джорджа Буля). Алгеброй Буля называется аппарат, который позволяет выполнять действия над логическими высказываниями. Существуют три основные операции действия с высказываниями: одноместная, называемая инверсией (НЕ) и две двуместные, называемые по аналогии с арифметикой чисел, сложением (ИЛИ) и умножением (И). Основой цифровой техники также служат три логические операции. Иногда эти операции И, ИЛИ, НЕ называют «тремя китами машинной логики». Все операции булевой алгебры определяются таблицами истинности значений. Обозначаются логические высказывания обычно заглавными буквами латинского алфавита. Истинные высказывания для удобства будем обозначать «1», а ложные – «0».

Высказывание – это форма мышления, в которой что–либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними.

Высказывание может быть либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным наклонением, т.к. оценка их истинности или ложности невозможна.

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. Например, «Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати». Составное высказывание истинно, т.к. истинны входящие в него простые высказывания. Истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.

Высказывания могут быть выражены не только с помощью естественных, но и с помощью формальных языков. Например, «Два умножить на три равно шести» (естественный) и «2 × 3 = 6» (формальный математический). Об объектах можно судить «верно» или «неверно», т.е. высказывание может быть «истинным» или «ложным».

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний (посылок) может быть получено новое высказывание (вывод). Примером умозаключений могут быть геометрические доказательства. «Все углы треугольника равны», следовательно «Этот треугольник равносторонний». Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения.

Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции. Их применяются для:

• вычисления истинности сложных высказываний;

• установления эквивалентности высказываний;

• определения тавтологий.

Логическое умножение (конъюнкция) – логическая операция «И», ставящая двум элементарным высказываниям новое высказывание, которое истинно только тогда, когда истинно А и В одновременно, и ложно в остальных случаях. Эту операцию принято обозначать знаком « » или знаком умножения «×». Например: А В, А × В, А • В, А и В, А & B. Оператор, выполняющий эту операцию – конъюнктор (обозначение на схемах, рис. 6).

Таблица истинности операции А В
« И » Рис. 6	А	В	С = A B
	0	0	0
	0	1	0
	1	0	0
	1	1	1

Логическое сложение (дизъюнкция) – логическая операция «ИЛИ», ставящая двум элементарным высказываниям новое высказывание, которое истинно только тогда, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложно только тогда, когда высказывания А и В – ложны. Эту операцию обозначают знаком « » или знаком сложения «+». Например: А + В, А В, А или В. Оператор, выполняющий эту операцию – дизъюнктор (обозначение на схемах, рис. 7).

Таблица истинности операции А В
« ИЛИ » Рис. 7	А	В	С = A B
	0	0	0
	0	1	1
	1	0	1
	1	1	1

Логическое отрицание – логическая операция «НЕ» (инверсия), ставящая элементарному высказыванию новое высказывание, которое истинно только тогда, когда исходное высказывание ложно, и наоборот. Обозначение: , не А. Оператор, выполняющий эту операцию – инвертор (обозначение на схемах, рис. 8).

Таблица истинности операции
« НЕ » 1 X Y Рис. 8	А
	0	1
	1	0

Импликация – логическая операция, ставящая двум элементарным высказываниям новое высказывание, которое ложно только тогда, когда А – истинно, В – ложно, и истинно в остальных случаях (рис. 9). Обозначение: А→B.

Эквивалентность – логическая операция, ставящая двум элементарным высказываниям новое высказывание, которое истинно только тогда, когда оба исходных высказывания А и В одновременно истинны или одновременно ложны, и ложно только тогда, когда одно из высказываний А и В ложно, а другое истинно (рис. 10). Обозначение: А↔B.

Таблица истинности операций А→B и A↔B
	А	В	А→B	A↔B
	0	0	1	1
	0	1	1	0
	1	0	0	0
	1	1	1	1

Из основных базовых логических элементов собираются функциональные узлы на различной элементной базе (электронные, пневматические и гидравлические): регистры; комбинационные преобразователи кодов: шифратор, дешифратор, мультиплексор и др., счетчики; арифметико–логические узлы: сумматор, узел сравнения и др. Из этих узлов, в свою очередь, также строятся интегральные микросхемы очень высокого уровня интеграции: микропроцессоры, модули ОЗУ, контроллеры внешних устройств и др.