§II.1.4 физическая кинетика

Средняя длина свободного пробега молекул газа

, (II.17)

где – эффективный диаметр молекул;

− концентрация молекул.

Среднее число столкновений одной молекулы в единицу времени

. (II.18)

Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени

. (II.19)

Число молекул, ударяющихся за единицу времени в единичную площадку, которая помещена в газе

. (II.20)

Закон диффузии (закон Фика): масса определенного компонента газа ( ), диффундирующая за время ( ) через площадку ( ), расположенную перпендикулярно оси х

(II.21)

где – коэффициент диффузии;

− градиент плотности.

Знак минус обусловлен тем, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.

Коэффициент диффузии

. (II.22)

Закон теплопроводности ( закон Фурье): количество теплоты ( ), переносимое за время ( ) через площадку ( ), расположенную перпендикулярно оси

(II.23)

где − коэффициент теплопроводности;

− градиент температуры;

- плотность газа.

Знак минус означает, что перенос внутренней энергии происходит в направлении убывания температуры.

Коэффициент теплопроводности

, (II.24)

где – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Закон вязкости (закон Ньютона): сила внутреннего трения ( ) между двумя слоями площадью ( ), движущимися с различными скоростями

(II.25)

где - коэффициент динамической вязкости;

− градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном к площадке .

Знак минус означает, что сила трения, действующая на более быстро движущиеся слои, направлена против скорости.

Коэффициент динамической вязкости

. (II.26)

ЗАДАЧА № II.48 Чем объяснить, что при высокой средней скорости хаотического движения газовых молекул (для воздуха м/с) возникшая в газе разница температур выравнивается сравнительно медленно (т.е. теплопроводность газов мала).

Ответ: При обычном давлении длина свободного пробега молекул газа мала и энергия теплового движения передается молекулами от слоя к слою через очень большое число столкновений, что и замедляет передачу тепла.

ЗАДАЧА № II.49 Для чего в сосуде Дьюара создают вакуум?

Ответ: В плотном газе теплопроводность не зависит от давления. Когда создается вакуум (ультраразряженный газ) толщина слоя воздуха между стенками сосуда оказывается равна или меньше длины свободного пробега, и молекулы между собой не сталкиваются. В этом случае теплопроводность пропорциональна концентрации молекул, а, следовательно, и давлению газа. Чем разряженнее воздух, тем меньше теплопроводность.

ЗАДАЧА № II.50 Коэффициенты теплопроводности газов имеют следующие значения

Водород 4,2 ·10⁶ Вт/м·град

Гелий 3,4 ·10⁶ Вт/м·град

Кислород 0,57 ·10⁶ Вт/м·град

Углекислый газ 0,34 ·10⁶ Вт/м·град

Какой газ выгоднее использовать для охлаждения? Какой для теплоизоляции?

Ответ: Для охлаждения выгоднее использовать водород (быстрее забирает тепло), для теплоизоляции – углекислый газ (медленнее уходит тепло).

ЗАДАЧА № II.51 Почему при резком движении в неподвижном воздухе чувствуется ветер?

Ответ: Ощущение ветра возникает в результате действия силы трения из-за появления градиента скоростей в прилегающем воздухе.

ЗАДАЧА № II.52 Почему в закрытом помещении возникший снаружи резкий запах начинает чувствоваться?

Ответ: В материале стен и окон имеются узкие щели и поры, через которые в результате диффузии молекулы вещества, вызвавшего запах, проникают в помещение.

ЗАДАЧА № II.53 Почему в горячей воде сахар растворяется быстрее, чем в холодной?

Ответ: С увеличение температуры возрастает скорость хаотического движения, а следовательно увеличивается скорость диффузии молекул сахара.

ЗАДАЧА № II.54 Как изменится эффективный диаметр молекул газа при изохорическом увеличении давления?

Ответ: Уменьшится, т.к. он убывает с ростом температуры.

ЗАДАЧА № II.55 Какое явление имеет место при наличии градиента скорости слоев жидкости или газа?

Ответ: Явление внутреннего трения.

ЗАДАЧА № II.56 В потоке жидкости, направленном вдоль оси х, скорость жидкости растет в положительном направлении оси у. В каком направлении происходит перенос импульса направленного движения?

Ответ: В отрицательном направлении оси .

ЗАДАЧА № II.57 Стальной стержень длиной 40 см и площадью поперечного сечения 6 см² нагревается так, что с одного конца его температура поддерживается 350⁰С, а с другого находится лед при 0⁰С. Считая, что передача теплоты осуществляется лишь вдоль стержня, подсчитать массу льда, растаявшего за 6 мин. Коэффициент теплопроводности стали 67,2 Дж/(град·м·с).

Дано: см м ;

см² м²;

С; К;

С; K;

мин с;

Дж/(град·м·с);

Дж/кг.

Найти:

Решение

Количество теплоты, переданной через какое либо сечение стержня от нагретого конца к холодному за время t, определяется на основании закона Фурье (II.23). Для нашего случая этот закон можно представить в виде

,

где К.

Лед у холодного конца плавится. На плавление данной массы льда тратится энергия

,

где  – удельная теплота плавления льда.

Так как , то для массы льда ( ) получим

;

Подстановка численных значений дает кг.

ЗАДАЧА № II.58 Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэффициент диффузии и вязкость при давлении 10 ⁵ Па и температуре 17 ⁰С. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объёма газа: а) при постоянном давлении; б) при постоянной температуре? Эффективный диаметр молекул азота 3,7·10 ^–8 см.

Дано: см м;

Па;

С; К;

кг/моль

Найти:

Решение

Средняя длина свободного пробега может быть рассчитана по формуле

,

где . Тогда м.

Для расчёта коэффициента диффузии по формуле: , воспользуемся полученным результатом, определив предварительно среднюю скорость

м/с. Тогда м²/с. Коэффициент вязкости

рассчитаем по формуле

кг/(м∙с)

Как видно из формулы, средняя длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объёма концентрация уменьшается вдвое. Следовательно, при любом процессе . Индексы 1 и 2 соответствуют состояниям до, и после расширения газа.

В выражение коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Следовательно, .

При постоянном давлении объём прямо пропорционален термодинамической температуре: . Таким образом, . Вязкость, зависит только от скорости молекул, следовательно, и от

температуры, т.е. . Это значит, что при постоянном давлении . При постоянной температуре коэффициент не изменяется.

ЗАДАЧА № II.59 На высоте 20 см над горизонтальной трансмиссионной лентой, движущейся со скоростью 70 м/с, параллельно ей подвешена пластинка площадью 4 см². Какую силу надо приложить к этой пластинке, чтобы она оставалась неподвижной? Вязкость воздуха при нормальных условиях 1,7·10 ^–5 кг/(м·с). В условиях опыта температура 27 ⁰С, давление атмосферное (рис. 29).

Дано: см м;

м/с;

см² м²;

кг/(м·с);

К;

⁰C; К.

Найти:

Решение

Благодаря явлению внутреннего трения на слой воздуха, примыкающий к пластинке (адсорбированный пластинкой), действует со стороны движущихся слоёв сила трения. Пластинка будет неподвижна, если приложенная сила F и сила трения F_тр скомпенсированы

F = – F_тр, или в скалярном виде .

h

Рисунок 29 - Рисунок к задаче № II.59

Сила трения может быть найдена из закона Ньютона ,

где – производная скорости направленного движения слоя по координате х, причём ось Ох перпендикулярна плоскостям трансмиссии и пластинки и направлена от трансмиссии к пластинке.

По условию задачи, давление атмосферное, это значит, что длина свободного пробега молекул много меньше расстояния h, поэтому вязкость может быть рассчитана по формуле

.

Здесь – средняя скорость теплового движения молекул;

– средняя длина свободного пробега молекул ; – плотность газа.

Как видно, вязкость зависит только от природы газа (эффективного диаметра молекул , молярной массы ) и температуры. Поэтому во всём пространстве между трансмиссией и пластинкой и значение при заданных условиях связано со значением при нормальных условиях соотношением , отсюда .

Из закона сохранения импульса следует, что сила трения, действующая на любой из этих промежуточных слоёв, должна быть одинаковой, следовательно, и значение этой производной может быть определено из граничных условий. Так как , её можно заменить отношением изменения скорости , . Тогда (как и следовало ожидать, производная ). Подставляя значения и в формулу для силы, получим

Н.