§II.1.2 основы молекулярно - кинетической теории газов

Все вещества состоят из атомов и молекул. Для измерения количества вещества вводится единица – моль. В моле любого вещества содержится одинаковое число молекул моль^–1, называемое постоянной Авогадро.

Все молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении, которое называется тепловым.

Молекулы газа обладают средней кинетической энергией поступательного движения

, (II.7)

где – масса одной молекулы;

- средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул.

Согласно молекулярно – кинетической теории, эта энергия связана с термодинамической температурой соотношением

(II.8)

где – сумма поступательных и вращательных степеней свободы;

– постоянная Больцмана;

– термодинамическая температура газа.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

(II.9)

ЗАДАЧА № II.18 Какой импульс передает молекула стенке сосуда, если, падая перпендикулярно к стенке: 1) отразится упруго с той же скоростью;

2) прилипнет к стенке? Масса молекулы , скорость .

Ответ: 1) 2) .

ЗАДАЧА № II.19 Какие молекулы в атмосфере движутся быстрее: молекулы кислорода или азота?

Ответ: Молекулы азота, так как , а .

ЗАДАЧА № II.20 Водород и кислород равной массы помещены в цилиндры со свободно перемещающимися поршнями. Чем будут отличаться изобары этих газов?

Ответ: Поскольку молекулы водорода и кислорода двухатомные, то при одной и той же температуре их средние кинетические энергии будут одинаковые. Однако, молекул водорода при одинаковых массах и объемов больше, поэтому водород создает большее давление. А для того чтобы давление было одинаковым, объём занимаемый кислородом, необходимо уменьшить в 16 раз ).

ЗАДАЧА № II.21 Запуск искусственных спутников показал, что температура воздуха на высоте 1000 км достигает нескольких тысяч градусов. Почему же не расплавляется спутник, двигаясь на этой высоте? Температура плавления железа 1520⁰С.

Ответ: Из-за большой разреженности воздуха на высоте 1000 км он не может передать спутнику то количество теплоты, которое необходимо для его плавления.

ЗАДАЧА № II.22 Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от их структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле. При условии, что имеют место только поступательное и вращательное движение, определить среднюю энергию молекул водяного пара (Н₂О).

Ответ: Средняя кинетическая энергия любой молекулы . Молекула водяного пара многоатомная и имеет степеней свободы i = 6 (3 поступательных + 3 вращательных). Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы . Следовательно, .

ЗАДАЧА № II.23 Для молекулы воды (Н₂О) имеют место все виды движения. Чему равно число степеней свободы для такой молекулы?

Ответ: i = 9 (3 поступательных + 3 вращательных + 3 колебательных).

ЗАДАЧА № II.24 Чему равно число степеней свободы для атомарного водорода?

Ответ: i = 3 (поступательных, вращательных и колебательных нет).

ЗАДАЧА № II.25 Сколько молекул содержится в стакане воды?

Дано: кг/моль ;

г кг;

моль^–1 .

Найти:

Решение

Учитывая, что в моле находится молекул, находим

молекул.

ЗАДАЧА № II.26 Плотность некоторого газа равна 6·10^–2 кг/м³, средняя квадратичная скорость молекул этого газа 500 м/с. Определить давление, которое газ оказывает на стенку сосуда.

Дано: кг/м³;

м/с.

Найти:

Решение

В основном уравнении молекулярно-кинетической теории

.

Произведение выражает массу молекул, содержащихся в единице объема вещества и, следовательно, равно плотности газа . Таким образом,

Па.

ЗАДАЧА № II.27 Определить среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при 20⁰С. При какой температуре эта скорость равна 500 м/с?

Дано: C; К;

м/с;

кг/моль.

Найти: ?

Решение

Кинетическая энергия одной молекулы газа равна

.

Согласно молекулярно – кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа

Приравнивая правые части данных уравнений, получаем выражение для скорости

.

Так как то уравнение для скорости, можно переписать в виде

м/с.

Запишем уравнение для : и выразим из него : К.

ЗАДАЧА № II.28 В сосуде емкостью 3,5 л находится смесь газов, в которую входит 2·10¹⁵ молекул кислорода, 5·10¹⁵ молекул азота и 6,6·10^-7г аргона. Какова температура смеси, если давление в сосуде 1,74·10^-4 мм.рт.ст.?

Дано: л м³;

;

;

кг;

мм.рт.ст. Па;

кг/моль.

Найти:

Решение

Для нахождения температуры смеси можно использовать зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

.

На основании закона Дальтона

,

где – парциальное давление ; – концентрация –того газа; ; – число молекул – того газа.

Для аргона ( – масса одной молекулы аргона.) Тогда

Отсюда искомая температура

.

Подставляя численные значения и проведя расчет, получим К.

ЗАДАЧА № II.29 Оцените число молекул воздуха, падающих на 1 см² стены комнаты за 1 с. Атмосферное давление 1,01·10 ⁵ Па. Температура окружающей среды 27 ⁰С, молярная масса воздуха 0,029 кг/моль.

Дано: см² м²;

C; К;

Па.

Найти:

Решение

Согласно уравнению (II.9), концентрация молекул воздуха

. (1)

Число молекул, ударяющихся о стенку за 1 с

, (2)

где среднеквадратичная скорость , а число 6 в знаменателе означает направлений в пространстве. Подставляя (1) в (2) , получим

; с^-1.

ЗАДАЧА № II.30 Откаченная лампа накаливания объёмом 10 см³ имеет трещину, в которую проникает 10⁶ частиц газа за 1с. Сколько времени понадобится, чтобы в лампе установилось нормальное давление? Температура 0 ⁰С.

Дано: см³ м³;

c ^{– 1};

Па; К.

Найти:

Решение

В лампе при нормальном давлении находится число молекул

,

где – концентрация молекул, определяемая из уравнения . Тогда число молекул будет равно .

Считая скорость проникновения молекул в сосуд постоянной, определим время

, с.

ЗАДАЧА № II.31 Два сосуда, содержащие два разных газа, соединены трубкой с краном. Давление в сосудах и , число молекул и . Определить давление в сосудах, если открыть кран. Температура постоянна.

Дано:

Найти:

Решение

Давление в первом сосуде определяется выражением , где , следовательно,

, (1)

а во втором сосуде . (2)

После того как откроют кран, газы будут иметь общий объем , а давление станет равно

. (3)

Выразим из (1) , и из (2) .

Подставив в формулу (3) для , получим .

ЗАДАЧА № II.32 Смесь азота и гелия при температуре 27⁰С находится под давлением 1,3·10² Па. Масса азота составляет 70 % от общей массы смеси. Найти концентрацию молекул каждого из газов.

Дано: C; К;

Па;

; кг/моль;

; кг/моль.

Найти:

Решение

Из уравнения , найдем концентрацию молекул смеси . Массы каждого из газов равны

, (1)

, (2)

где – объём газа. Поделив (1) на (2), найдем отношение концентраций

, отсюда , а так как , то

м^-3; а м^-3.