Лекция 14 прогнозирование в моделях бокса - дженкинса

На рис. 2 для сравнения приведены последние 10 значений ве­личины золотовалютных резервов России (столбец Reserves на рис. 2, а) и ее значения, полученные путем прогнозирования (стол­бец Forecast на рис. 2, б) на 10 недель вперед. В столбцах Lower 90,0000% и Upper 90,0000% на рис. 2, б приведены численные зна­чения соответственно нижней и верхней границ 90%-го довери­тельного интервала, а в столбце Std.Err. — значения стандартных ошибок прогнозируемых величин.

б)

а)

Рис. 2. Последние 10 значений исходной статистики (а) и численные значения 10 шагов прогноза (б)

Пример 2. Изучим динамику отпуска электроэнергии с ТЭЦ и осуществим прогноз.

На рис. 3, а приведен фрагмент исходных данных по отпуску электроэнергии с ТЭЦ (столбец Electricity), а на рис. 3,6 — соот­ветствующий график.

Анализ графика на рис. З, б позволяет сделать предположение о том, что ряд отпуска электроэнергии с ТЭЦ является стационар­ным, содержащим периодическую компоненту с периодом в один год. Проверим это предположение с помощью построения автокорре­ляционной и частной автокорреляционной функций (рис. 4).

Изучение автокорреляционной функции на рис. 4, о и срав­нение ее, например, с автокорреляционной функцией золотова­лютных резервов России (см. лекцию 13, рис. 4, а) подтверждает предположение об отсутствии тренда, т.е. ряд действительно ста­ционарен.

224

15-

2043

225

На рис. 10 приведены численные значения прогноза отпуска электроэнергии с ТЭЦ на 12 месяцев (столбец Forecast).

Сравним теперь несезонную модель ARIMA(0, 0, 2) и сезонную Модель ARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1)₁₂ друг с другом. Модели заметно различаются, так как согласно результатам оценивания моделей, представленным на рис. 5 и 8, а, для величин квадратов остатков имеем 342,69 и 722,87 соответственно. Таким образом, с точки зрения величины квадрата остатков более предпочтительной явля­ется несезонная модель ARIMA(0, 0, 2).

Иная ситуация обнаруживается при сравнении моделей с точ­ки зрения прогнозирования. Прогноз по модели ARIMA(0, 0, 2) (см. рис. 6 и 7) тривиален в том смысле, что его выбирают равным среднему значению. Прогноз по модели ARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1)₁₂

231

Рис. 10. Численные значения прогноза отпуска электроэнергии с ТЭЦ на 12 месяцев

Вывод. Искомой моделью отпуска электроэнергии с ТЭЦ явля­ется сезонная модель ARIMA(0,0,0)(0, 0, 1),₂, которая дает вполне правдоподобный прогноз на год вперед.

Пример 3. С помощью методологии Бокса — Дженкинса изучим временной ряд, описывающий динамику объемов производства молока в России с января 1992 г. по декабрь 1995 г.

На рис. 11, а приведен фрагмент исходных данных по производ­ству молока в России (столбец Milk), а на рис. \\,б— соответству­ющий график.

Изучение графика на рис. 11, б приводит к следующим выводам. Временной ряд является нестационарным, что связано с наличием тренда. Динамика имеет явный сезонный характер с периодом один год. На рис. 12 приведены автокорреляционная и частная автокор­реляционная функции данных о динамике объемов производства молока в России.

Используя пакет STATISTICA, легко перебрать множество ва­риантов моделей АШМА(д d, q)(P, D, Q) при не очень больших

232

Лекция 15 РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИКА В ГЛОБАЛЬНОМ КОНТЕКСТЕ

Строится и исследуется эконометрическая модель россий­ской экономики в глобальном контексте. Модель содержит 16 регрессоров, среди которых в качестве экзогенных были выбраны цена на нефть, отношение курса доллара к курсу евро и денежный агрегат М2 Российской Федерации. Мо­дель получила название монетарной, поскольку единствен­ным управляемым параметром считался денежный агрегат М2. С помощью данной модели строится ежеквартальный прогноз на 2008 г. для всех 16 регрессоров. Оценивается ка­чество прогноза путем сравнения предсказанных значений С реальными данными.

Опишем с точки зрения эконометрики позиционирование Рос­сии во времени в контексте глобальной экономики. В качестве глобальных параметров, от которых чувствительно зависит внутри-и внешнеполитическое состояние нашей страны, выберем цену нефти на мировом рынке (OilPrice) и отношение курсов доллара США и евро ($/€ - USD_EUR).

За основу возьмем исследование 2007 г. «Анализ последствий возможного снижения мировых цен на нефть для российской экономики»¹, проведенное коллективом авторов из Центра стра­тегических разработок, Института экономики переходного пе­риода и Института энергетической политики. Из этого исследова­ния был заимствован следующий набор регрессоров:

1)1 — инвестиции в основной капитал, млрд руб. (источник данных: ФСГС РФ, www.gks.ru);

2. М2 — денежный агрегат М2, млрд руб. (источник данных: ЦБ РФ, www.cbr.ru);

3. USD_EUR — отношение курса доллара к курсу евро (источ­ник данных: Международный валютный фонд, www.imf.org);

4. OilPrice — цена на нефть, долл. США (источник данных. www.eia.doe.gov/);

¹ www.opec.ru/library/article. asp ?d_no=5760&c_no=83&c l_no= 248

5. Y — темп роста реального объема ВВП, % к соответству­ющему периоду предыдущего года (источник данных: ФСГС РФ, www.gks.ru);

6. U — отношение количества безработных к численности эко­номически активного населения (источник данных: ФСГС РФ, «Социально-экономическое положение России по ме­сяцам»);

7. Inc — темп роста реальных располагаемых денежных дохо­дов, % к соответствующему периоду предыдущего года (ис­точник данных: ФСГС РФ, www.gks.ru);

8. Ind — темп роста индекса промышленного производства, % к соответствующему периоду предыдущего года (источник данных: ФСГС РФ, www.gks.ru);

9. Trade — розничный товарооборот, млрд руб. (источник дан­ных: ФСГС РФ, «Социально-экономическое положение России по месяцам»);

10. CPI — индекс потребительских цен, % к соответствующему периоду предыдущего года (источник данных: ФСГС РФ, www.gks.ru);

11. Im — импорт, млн долл. США (источник данных: ФСГС РФ, www.gks.ru);

12. Ех — экспорт, млн долл. США (источник данных: ФСГС РФ, www.gks.ru);

13. Е — номинальный обменный курс рубля к доллару (источ­ник данных: ЦБ РФ, www.cbr.ru);

14. R — реальный эффективный курс рубля (источник данных: Bank for International Settlements, www.bis.org);

15. Res — золотовалютные резервы Российской Федерации, млн долл. США (источник данных: ЦБ РФ, www.cbr.ru);

16. Tax — налоговые поступления в бюджет Российской Федера­ции, млрд руб. (источник данных: Минфин РФ, www.eeg.ru/).

В нумерованном списке использованы стандартные аббревиа­туры: ФСГС РФ — Федеральная служба государственной статис­тики Российской Федерации, ЦБ РФ — Центральный банк Рос­сийской Федерации. На рис. 1 приведена таблица пакета STATIS-ТІСА с квартальными данными для всех 16 регрессоров за период ^с 2002 по 2007 г. Для 4-го квартала 2007 г. данные, которые отсут­ствовали, доопределялись с помощью регрессионного анализа¹.

Данное исследование проводилось в январе 2008 г.

249

менная I (инвестиции в основной капитал). В нашем исследовании это станет возможным, если исключить причинно-следственную связь 21, которая описывает зависимость I от USD_EUR.

Таким образом, согласно диаграмме на рис. 2, единственным управляющим со стороны правительства параметром в данной модели выступает денежный агрегат М2. На макроэкономическом языке это означает, что предполагаемое воздействие на экономику России осуществляется на базе только кредитно-денежных меро­приятий ЦБ РФ. Исходя из данных соображений, рассматрива­емую экономическую модель можно назвать монетарной.

Для построения системы одновременных уравнений монетар­ной модели перейдем в наших данных к отклонениям от средних значений. После этой процедуры уже можно применить путевой анализ SEPATH пакета STATIST1CA на базе метода максимально­го правдоподобия. Детали этой процедуры обсуждаются в семина­ре 15, а результат приведен на рис. 3. Для простоты отклонения от средних значений обозначены теми же переменными, что и исход­ные регрессоры.

,

Из анализа столбца Т Statistic на рис. 3 видно, что все коэффи­циенты искомых регрессионных уравнений высокозначимы на уровне 5%. Этого удалось добиться путем подбора той конфигура­ции связей между переменными, которая приведена на диаграмме рис. 2.

Учитывая численные значения коэффициентов в регрессион­ных моделях путевого анализа (см. рис. 3), запишем без учета слу­чайных ошибок искомую систему одновременных уравнений:

Y = 0,0011021 + 68,549287U + 0,0028681rade -

-0,053014OUPrice, ' (1)

Inc = 0,799339Y, (2)

Ind = 0,882386Y, (3)

CPI = -0,104517Y, (4)

Im=1411,570159Y-5288,266608E, , (5)

Tax = 38,204541Y+ 22,864032OiIPrice, (6)

R = -l,186703Y+0,00095Ex, (7)

Ex=1091,1371OilPrice, (8)

E = -0.050378R - 5,289863USD_EUR - 0,000003Res, (9)

Res = 39,210343M2, (10)

Trade = 0,189927M2, (11)

U = -0,000003M2, (12)

I = 2355,9734USD_EUR. (13)

Из уравнения (1) следует, что темп роста реального объема ВВП и цена нефти связаны отрицательной зависимостью. Получается, что приток нефтедолларов в страну, если следовать монетарной логике, приводит к снижению темпа роста ВВП. Экономический смысл уравнений (2), (3) прозрачен: темпы роста денежных дохо­дов населения и промышленного производства прямо пропорци­ональны темпу роста ВВП. Уравнение (4) означает, что индекс потребительских цен уменьшается при увеличении темпа роста ВВП. Смысл уравнения (5) также очевиден: импорт прямо пропор­ционален темпу роста ВВП и уменьшается с ростом номинального обменного курса рубля к доллару. Уравнение (6) характеризует

253

налоговые поступления в бюджет, которые прямо пропорциональ­ны темпам роста ВВП и мировой цене на нефть. Согласно уравне­нию (7) реальный эффективный курс рубля прямо пропорциона­лен экспорту России и уменьшается при увеличении темпа роста ВВП. Уравнение (8) означает, что объем экспорта России напря­мую связан с ценой на нефть. Уравнение (9) показывает, что номи­нальный обменный курс рубля к доллару уменьшается с ростом реального эффективного курса рубля, отношения курса доллара к курсу евро и золотовалютных резервов ЦБ РФ. Уравнения (10), (11) связывают прямо пропорциональной зависимостью соответ­ственно золотовалютные резервы ЦБ РФ и розничный товарообо­рот с денежным агрегатом М2. Согласно уравнению (12) отноше­ние числа безработных к численности экономически активного населения уменьшается по мере роста денежного агрегата М2. Уравнение (13) определяет суть рассматриваемой монетарной мо­дели: инвестиции в основной капитал увеличиваются по мере па­дения курса доллара по отношению к евро.

Прогноз по монетарной экономической модели России

Для осуществления прогноза в монетарной экономической модели будем придерживаться следующей логики. Используя техно­логию Бокса — Дженкинса, построим прогноз для каждой из трех внешних переменных (OilPrice, USD_EUR и М2) и далее с помощью уравнений (1)—(13) получим прогнозные значения для 13 других переменных. Прогноз сделаем на год, т.е. на четыре квартала, вперед.

Рассмотрим прогноз для цены на нефть за один баррель. Име­ется ряд среднемесячных цен с января 1997 г. по декабрь 2007 г. (www.eia.doe.gov). На рис. 4 показана динамика цены одного бар­реля нефти за указанный период. В рамках процедуры Бокса — Дженкинса в пакете STATISTICA была подобрана оптимальная для прогноза сезонная с периодом 1J месяцев модель ARIMA(4, 2, 0) (1, 0, 0),, без свободного члена.

На рис. 5 приведен итог оценивания параметров модели ARIMA(4, 2, 0)(1, 0, 0),,. В столбце Asympt. t(125) находятся значе­ния статистик Стьюдента для каждого параметра модели. Эти ста­тистики достаточно внушительны по абсолютной величине, т.е. все параметры модели, представленные в столбце Param., высокозна­чимы. Приведем модель ARIMA(4, 2, 0)(1, 0, 0),, в аналитической форме: 254

259

260

_і

_I

Для удобства восприятия предсказанные на 2008 г. значения приводятся на рис. 17 вместе с исходными данными, которые ранее уже фигурировали в нашем анализе на рис. 1.

Выводы по прогнозу на 2008 г. по основным экономическим показателям российской экономики в глобальном контексте сле­дующие. Ожидается, что к концу 2008 г. произойдут следующие изменения экономических показателей (по отношению к анало­гичному периоду 2007 г.):

1. инвестиции в основной капитал (I) вырастут на 42%;

2. объем денежного агрегата М2 возрастет на 49%;

1. отношение курса доллара США к курсу евро (USD_EUR) возрастет на 13%;

3. цена нефти на мировом рынке (OilPrice) вырастет на 86%;

4. темп роста реального объема ВВП (Y) снизится на 1,5%;

2. отношение количества безработных к численности эконо­мически активного населения (U) возрастет на 32%;

3. темп роста реальных располагаемых денежных доходов (Inc) снизится на 1,7%;

4. темп роста индекса промышленного производства (Ind) сни­зится на 1%;

5. розничный товарооборот (Trade) вырастет на 26%;

10. индекс потребительских цен (CPI) уменьшится на 0,1%;

11. импорт (Im) возрастет на 98%, т.е. приблизительно вдвое;

12. экспорт (Ех) возрастет на 91 %, т.е. приблизительно вдвое;

13. номинальный обменный курс рубля к доллару (Е) снизится на 21%;

14. реальный эффективный курс рубля (R) возрастет на 44%;

15) золотовалютные резервы России (Res) вырастут на 63%; 17) налоговые поступления в бюджет (Tax) вырастут на 88%. Завершая изучение монетарной модели российской экономики

в глобальном контексте, проведем путевой анализ для всей статис­тики рис. 17, включая предсказанные значения для 16 переменных. На рис. 18 приведен итог путевого анализа. Видно, что все пара­метры высокозначимы (столбец Parameter Estimate).

Если сравнить соответствующие параметры на рис. 3 и 18, можно убедиться, что параметры расширенной модели не очень сильно отличаются. Это означает, что схема причинно-следствен­ных связей, сформированная на рис. 2, осталась в силе после того, как в базу данных были включены предсказанные значения за 2008 г.

266

указывает на вызревание некоторого системного кризиса в миро­вой экономике. Данное предсказание полностью оправдалось в 4-м квартале 2008 г.

Оценим качество прогноза', сравнив прогнозные, теоретиче­ские значения с реальными данными за 2008 г. Реальные данные за 2008 г., полученные из тех же источников и по тому же алгоритму, что и исходные данные на рис. 1, представлены на рис. 19 в преж­них обозначениях.

В целом отметим, что мировой финансовый кризис, который начался с ипотечного кризиса США весной 2007 г., добрался до России в 4-м квартале 2008 г. Представленная выше монетарная экономическая модель России не предназначена для анализа и прогноза глобального финансового кризиса, корни которого лежат в финансовой системе США. По этой причине в ряде случаев про­гнозные данные за 4-й квартал 2008 г. весьма далеки от реальности. Поэтому для нас будет особенно интересно сравнить теоретиче­ские и реальные данные за первые три квартала 2008 г.

Отметим, что все 16 регрессоров нашей модели были поделены на две группы: экзогенные и эндогенные. Прогноз экзогенных переменных осуществлялся отдельно и независимо от других экзогенных переменных по технологии Бокса — Дженкинса. Прогнозы 13 эндогенных переменных строились по форму­лам (1)—(13).

Остановимся более подробно на качестве прогноза трех основ­ных экзогенных переменных: цены нефти на мировом рынке (OilPrice), отношения курса доллара США к курсу евро (USD_EUR) и денежного агрегата М2 (рис. 20). Сплошные линии на рис. 20 обозначают предсказанные значения (OilPrice_p, USD_EUR_p, M2_p) соответствующих регрессоров, а штриховые — их реальные значения (OiIPrice_r, USD_EUR_r, M2_r).

Визуальное исследование графиков на рис. 20 приводит к сле­дующим выводам. Цена нефти (OilPrice, см. рис. 20, а) на первые два квартала предсказана вполне удовлетворительно, тогда как для 3-го, а тем более 4-го квартала цену на нефть предсказать не уда­лось. Показатель отношения курса доллара к курсу евро USD_EUR (см. рис. 20, 6) хорошо предсказан на первые два квартала 2008 г., а на 3-й и тем более 4-й квартал его предсказать не удалось. Про­гноз денежного агрегата М2 (см. рис. 20, в) за первые три квартала

' Оценка проводилась в январе—феврале 2009 г. 268

несколько завышен по сравнению с реальными данными, а для 4-го квартала указана прямо противоположная действительности тенденция.

Сравним теперь предсказанные и реальные данные для 12 эн­догенных переменных нашей модели (рис. 21). Дадим некоторые комментарии.

Динамика инвестиций в основной капитал (см. рис. 21, а) ока­залась более «резвой», чем было спрогнозировано. Темп роста ре­ального объема ВВП (см. рис. 21, б) снижается менее плавно, чем это получилось по модели прогноза. Б, целом прогноз инвестиций в основной капитал и темпа роста реального объема ВВП на 2008 г. оказался вполне удовлетворительным (учитывая общую тенденцию и абсолютные значения).

Прогнозные значения темпа роста денежных доходов населения (см. рис. 21, в) оказались несколько завышенными по сравнению с реальностью. Прогнозные значения темпа роста индекса про­мышленного производства (см. рис. 21, г) соответствуют реальным значениям в течение первых трех кварталов 2008 г.

Розничный товарооборот (см. рис. 21, д), полученный по нашим модельным расчетам, неплохо соотносится с реальными данными. Индекс потребительских цен (см. рис. 21, е) оказался заметно ниже, чем те значения, которые были получены по нашей модели.

Импорт и экспорт (см. рис. 21, ж и з) неплохо предсказаны на первые три квартала 2008 г. (данные 4-го квартала отсутствовали на момент проведения сравнения), хотя предсказанные значения выше, чем реальные данные.

Прогноз номинального обменного курса рубля (см. рис. 21, и) оказался неудачным для второй половины 2008 г., это, конечно же, обусловлено разразившимся глобальным финансовым кризисом. Прогноз реального эффективного курса рубля (см. рис. 21, к) так­же оказался не вполне удачным, поскольку предсказанные значе­ния заметно выше, чем реальные. Однако следует отметить, что знак тенденции, а именно рост реального эффективного курса рубля, предсказан правильно.

Золотовалютные резервы России (см. рис. 21, л) в 2008 г. росли в первых трех кварталах не так быстро, как это предсказано мо­делью, в 4-м же квартале расхождение полное (и по знаку тенден­ции, и по значению). Налоговые поступления (см. рис. 21, м), определенные с помощью модели, оказались несколько завышен­ными по сравнению с реальными данными.

271

Вывод. Сравнение прогнозируемых и модельных данных (см. рис. 20 и 21) показало неплохое соответствие в пределах первых двух кварталов 2008 г. В 3-м и особенно в 4-м кварталах для ряда регрессоров обнаружилось заметное расхождение теории и экспе­римента. Данное расхождение обусловлено мировым финансовым кризисом, который добрался до России в 4-м квартале 2008 г. От­метим, что представленная модель не претендует на описание и прогноз процессов, связанных с мировым финансовым кризисом 2007-2009 гг.

V

Лекция 15+