Лекция 13 модели бокса - дженкинса

(ARMA)

Определяется класс моделей авторегрессии и скользящего среднего Бокса —Дженкинса (ARMA) для описания стацио­нарных временных рядов. Приводится процедура проверки ряда на стационарность. Осуществляется переход к интег­рированным процессам авторегрессии и скользящего среднего ARIMA(/>, d, q). Формулируются основы идентификации и оценивания моделей ARIMA(^, d, q) в пакете STATISTICA.

В предыдущей лекции обсуждалось применение методов рег­рессионного анализа к моделям, содержащим несколько времен­ных рядов. В данной и последующих лекциях будут рассмотрены модели временных рядов, в которых динамика переменной опи­сывается исходя из ее значений в предыдущие моменты времени.

В лекции 12 было отмечено, что статистические свойства ста­ционарных и нестационарных временных рядов существенно от­личаются, поэтому для их моделирования должны применяться различные методы. В данной лекции рассмотрим частный случай модели Бокса — Дженкинса, а именно ARMA-модели для стационарных временных рядов. Внимание именно к этим моделям объясняется тем, что многие временные ряды могут быть приведены к стационарному ряду после выделения и удаления из них тренда, сезонной компоненты или взятия одной или несколь­ких разностей.

Тренд, сезонность и взятие разности

Приведем различные примеры нестационарных времен­ных рядов.

Тренд. Рассмотрим временной ряд с линейным трендом вида

y, = a + fit + Ј_r (^

Ряд у, в (1) представлен в виде суммы детерминированной со­ставляющей а + р/ и случайной составляющей є,, являюшеис стационарным временным рядом с нулевым средним. Часто и

196

Пример 2. Проведем идентификацию, оценивание и проверку адекватности модели динамики золотовалютных резервов России с 31 декабря 2005 г. по 12 октября 2007 г. (www.cbr.ru).

На рис. 9 приведен график динамики золотовалютных резервов России. Наличие основной тенденции означает, что ряд данных не является стационарным.

05/09/05 24/03/06 10/10/06 28/04/07 14/11/07

14/12/05 02/07/06 18/01/07 06/08/07

Date

Рис. 9. Динамика международных резервных активов России с 31 декабря 2005 г. по 12 октября 2007 г.

На этапе идентификации модели ARIMA необходимо добиться того, чтобы ряд первоначально нестационарный стал стационар­ным, т.е. его среднее должно быть постоянно, а выборочные дис­персия и автокорреляция не должны меняться во времени. По этой причине обычно необходимо брать последовательные разности рада до тех пор, пока ряд не станет стационарным (часто также применяют логарифмическое преобразование для стабилизации дисперсии). Для того чтобы определить необходимый порядок разности, нужно исследовать график ряда и автокоррелограмму-

Сильные изменения уровня (сильные скачки вверх или вниз) обычно требуют взятия несезонной разности первого поряд*³ (d= 1), а сильные изменения наклона — разности второго поряд*³-

210

Сезонная составляющая требует взятия соответствующей сезонной разности. Если наблюдается медленное убывание выборочных коэффициентов автокорреляции в зависимости от лага, обычно берут разность первого порядка.

На рис. 10 построена автокоррелограмма ряда динамики меж­дународных резервных активов России. Видно, что значения кор­реляции в зависимости от лага убывают довольно медленно. Это означает, что для идентификации ARIMA(/>, d, q) следует взять разность первого порядка (d = 1). На рис. 11 приведен график Ду, = D_Reserves в зависимости от номералаблюдений; видно, что ряд стал стационарным, так как тренд отсутствует.

Автокорреляционная функция переменной Reserves

Lag	Corr.	S.E.
1	+,970	,1015
2	+.940	,1010
3	+,909	,1004
4	+,877	,0999
5	+,844	,0993
6	+,812	,0988
7	+,780	,0982
8	+,747	,0976
9	+,713	,0971
10	+,677	,0965
11	+,641	,0959
12	+,605	,0953
13	+,569	,0947
14	+,533	,0942
15	+.497	,0936 0

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Рис. 10. Автокорреляционная функция переменной Reserves

Кроме того, на этапе идентификации модели необходимо ре­шить, как много параметров авторегрессии (р) и скользящего сред­него (д) следует включить в модель процесса.

Напомним выводы теории о том, что, если наблюдается процесс ^авторегрессии порядка р, его частная авторегрессионная Функция обрывается на лаге р, при этом автокорреляционная Функция плавно спадает.

^

Рис. 11. Динамика первой разности D_Reserves

Если наблюдается процесс скользящего среднего по­рядка q, то его автокорреляционная функция обрывается на лаге q, при этом частная автокорреляционная функция плавно спадает.

В ряде учебников¹ считается, что число параметров р или q очень редко бывает больше 2 (однако это не совсем так, примеры приведены в лекции 15 и семинаре 15). В связи с этим традицион­но рассматривают следующие пять типов моделей:

1. Модели авторегрессии с одним параметром (p=l,q = 0): авто­корреляционная функция экспоненциально затухает, част­ная автокорреляционная функция имеет выброс на лаге 1.

2. Модели авторегрессии с двумя параметрами (р = 2, q = 0): ав­токорреляционная функция имеет форму затухающей сину­соидальной волны или экспоненциально затухает, частная автокорреляционная функция имеет выброс для лагов 1 и 2.

¹ Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе

STATISTICA

в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компью­тере: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 1999. С. 127; Хала-фянА.А. STATISTICA 6. Статистический анализ данных: Учебник. М-ООО «Бином-Пресс», 2007. С. 448.

212

3. Модели скользящего среднего с одним параметром (p = 0,q= 1): автокорреляционная функция имеет выброс на лаге 1, част­ная автокорреляционная функция экспоненциально затуха­ет (монотонно или осциллируя).

4. Модели скользящего среднего с двумя параметрами (р = О, q = 2): автокорреляционная функция имеет выброс на лагах 1 и 2, частная автокорреляционная функция имеет форму затухающей синусоидальной волны или экспоненциально затухает.

5. Модели авторегрессии с одним параметром и скользящего сред­него с одним параметром (р = 1, q = 1): автокорреляционная функция экспоненциально затухает (монотонно или с коле­баниями) начиная с первой задержки; в частной автокорре­ляционной функции преобладает затухание по экспоненте, причем затухание носит либо монотонный, либо осцилли­рующий характер? ,

Вернемся к примеру 2. На рис. 12 приведены автокорреляци­онная и частная автокорреляционная функции переменной D_Reserves, график которой представлен на рис. 11. Автокорреля­ционная функция (см. рис. 12, а) имеет небольшой выброс на лаге 1, заметную тенденцию к затуханию и слабо выраженную периодичность с периодом 12 ■ 7 = 84 дня (квартальную периодич­ность). Частная автокорреляционная функция (см. рис. 12, б), осциллируя, экспоненциально приближается к нулю.

Для выбора одной из пяти перечисленных моделей будем рас­суждать следующим образом. В частной автокорреляционной Функции (см. рис. 12, б) значимо отличается от нуля только значе­ние корреляции для первого лага. Это определяет выбор в пользу первой модели, т.е. модели авторегрессии первого порядка (р = 1) и без скользящего среднего (<7 = 0). Следует отметить, что выбор модели в полной мере не однозначен. Можно также использовать модель с р = 0 и q = 1. Наличие нескольких подходящих моделей следует рассматривать не как ошибку, а как нормальный процесс поиска оптимальной модели.

Оценивание ARMA-моделей проводится различными метода-Ми. Среди них линейные и нелинейные методы наименьших квадратов, полный или условный метод максимального правдо­подобия.

В качестве примера рассмотрим модель (18) ARMA(1, 1) и при­меним к ней оператор Q(L)~\ где G(I) = 1 - Q_{L, тогда

213

Рис. 16. Статистика Льюнга — Бокса: а — для модели ARI МА( 1, 1, 0); б — для модели ARIMA(0,1,1)

Для окончательного выбора одной модели из двух можно рас­суждать следующим образом. В моделях ARIMA(1, 1, 0) и ARIMA(0, 1, 1) суммы квадратов остатков, отнесенные к числу сте­пеней свободы (91), т.е. оценки дисперсий равны соответственно 13,378 (см. рис. 13, а) и 13,514 (см. рис. 13, б). Выбираем ту модель, у которой дисперсия минимальна, т.е. модель ARIMA(1,1,0).

Вывод. Проведенные оценивание и проверка адекватности мо­дели динамики золотовалютных резервов России показывают, что предпочтительной является модель ARIMA(1, 1, 0) с авторегрес­сией.