Лекция 10 причинное моделирование. Путевой анализ sepath

Дается введение в путевой анализ в пакете STATISTICA, именуемый SEPATH. Указанная процедура позволяет изу­чать причинные связи в сложных многофакторных эконо­мических, социальных процессах и явлениях с помощью структурных уравнений. Рассматриваются примеры постро­ения диаграмм путей и язык путевого анализа. Определя­ются явные и латентные (скрытые), эндогенные и экзогенные переменные.

f

Построение системы структурных уравнений позволяет глубже

изучить причинные связи, лежащие в основе вариации результи­рующих переменных. При этом происходит вьщеление и оценка косвенных (латентных, опосредованных) и прямых (явных, непо­средственных) влияний признаков. По этой причине системы структурных уравнений часто интерпретируются как статистиче­ские описания причинно-следственных связей, как причинные мо­дели. Структурное моделирование представляет собой попытку преодолеть косвенный характер изучения связей: с его помощью удается выделить причинные связи между переменными явным образом.

Установить направленность связей, их причинный характер можно лишь на основе содержательного анализа изучаемого явле­ния, в ходе которого формулируются гипотезы о структуре влия­ний. Систему причинных гипотез удобно изображать в виде графа связей, вершинами которого являются переменные — причины или следствия, ориентированные дуги соответствуют постулируемым причинным отношениям, а неориентированные ребра — отношени-^ям координационного изменения, не структурируемым в данной схеме.

Для верификации гипотез необходимо соответствие между гра->ом и системой уравнений, описывающей его. Алгебраическая стема, соответствующая графу без контуров (петель), является ^-курсивной системой, позволяющей рекуррентно определять зна­ния входящих в нее переменных. В такой системе в уравнения

149

для признаков Y_tk включаются все переменные, за исключением тех, что расположены выше них по графу связей.

Структурные модели позволяют не только оценивать непосред. ственное влияние переменных, но и прогнозировать поведение системы, определять значения эндогенных переменных. Если же такая задача не ставится и требуется лишь уточнить характер связей переменных, то применяется путевой анализ (р-анализ). Само на­звание подсказывает, что в данном методе активно используется граф связей, изоморфный системе уравнений.

Метод путевого анализа (или путевых коэффициентов) предло­жен в 1920-х годах американским генетиком С. Райтом. В других областях этот метод получил признание в середине 1960-х годов. Так, в биометрии (социометрии) он использовался для построения причинных моделей. Экономистам этот метод все еще мало знаком.

Моделирование структурными уравнениями

Благодаря объединению многомерного статистического анали­за (факторного, кластерного, дискриминантного и некоторых дру­гих методов анализа) с новейшими вычислительными средами была создана новая, но уже получившая признание техника моде­лирования структурными уравнениями SEPATH.

Объектом моделирования структурными уравнениями являют­ся сложные системы, внутренняя структура которых неизвестна. Наблюдая параметры системы с помощью SEPATH, можно иссле­довать ее структуру, установить причинно-следственные взаимо­связи между элементами системы.

Основные задачи, для решения которых используются структур­ные уравнения, следующие:

1. Причинное моделирование, или анализ путей, при проведении которого предполагается, что между переменными имеются причинные взаимосвязи. Возможна проверка гипотез и под­гонка параметров причинной модели, описываемой линей­ными уравнениями.

2. Подтверждающий факторный анализ, используемый как раз^-витие обычного факторного анализа для проверки опреД^е' ленных гипотез о структуре факторных нагрузок и корреля­ций между факторами.

3. Построение регрессионных моделей — модификация много­мерного линейного регрессионного анализа, в котором к°'

150

эффициенты регрессии зафиксированы: они равны либо друг другу, либо каким-нибудь заданным значениям.

4. Моделирование ковариационной структуры, которое позволяет проверить гипотезу о том, что матрица ковариаций имеет определенный вид.

5. Моделирование корреляционной структуры, которое позволяет проверить гипотезу о том, что матрица корреляций имеет определенный вид.

6. Моделирование структуры средних, которое позволяет иссле­довать структуру средних одновременно с анализом диспер­сий и ковариаций. *

Постановка задачи структурного моделирования в пакете STATIS-TICA выглядит следующим образом¹. Пусть имеются переменные, для которых известны статистические моменты, например матри­ца выборочных коэффициентов корреляции или ковариаций. Та­кие переменные называют явными. Реальные связи между наблю­даемыми явными переменными могут быть достаточно сложными, однако предполагается, что имеется некоторое число скрытых, или латентных, переменных, которые с известной степенью точности объясняют структуру этих связей. Таким образом, с помощью ла­тентных переменных строится модель связей между явными и неявными переменными.

В некоторых моделях латентные переменные можно рассмат­ривать как причины, а явные — как следствия, такие модели назы­ваются причинными. Скрытые переменные, в свою очередь, могут быть связаны между собой. Структура связей допускается сколь угодно сложной, однако тип ее постулируется: это связи, описы­ваемые линейными уравнениями. Какие-то параметры линейных моделей известны, какие-то — нет и являются свободными.

Обозначим неизвестные параметры Р,, р₂, ..., (З_т, а матрицу выборочных коэффициентов корреляции или ковариаций через R. Пересчитаем эту матрицу формально с помощью модели, тогда получим новую матрицу R' = Д'(р,, Р₂,..., р_и). Пусть p(R, R) — не-^к°торая функция, измеряющая различие двух матриц, тогда задача ^с°стоит в том, чтобы построить оценки неизвестных параметров, беспечивающих минимум этой функции, т.е. p(R, R') = min. Раз­личные функции р соответствуют различным методам оценивания.

Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA. Статистический анализ ^и обработка данных в среде Windows. M.: Филинъ, 1998. С. 528.

151

Основная идея моделирования структурными уравнениями состо. ит в том, что можно проверить, связаны ли переменные У _и v линейной зависимостью Y= fix, анализируя их дисперсии и кова. риации. Идея основана на простом свойстве среднего и диспеп. сии: если умножить каждое число некоторой статистики на кон-станту а, среднее значение также умножится на а, при этом дис. персия умножится на а². Эта идея может быть различными способами обобщена на несколько переменных, связанных сис­темой линейных уравнений. При этом правила преобразований становятся более громоздкими, вычисления — более сложными но основной смысл остается прежним — можно проверить, свя­заны ли переменные линейной зависимостью, изучая их диспер­сии и ковариации.

Отметим, что если бы были известны наблюдаемые значения У и X, то найти значение параметра р* можно было бы методом наи­меньших квадратов. Однако в структурном моделировании обе переменные или одна из них могут быть латентными, т.е. с неиз­вестными значениями.

Процесс моделирования состоит из следующих пяти этапов:

1. Формирование модели включает предварительное описание способов, которыми предположительно связаны между со­бой явные и латентные переменные (вначале это делается графически, на языке диаграммы путей, затем переводится на программный язык).

2. С помощью определенных правил программа перерабатыва­ет модель, сформулированную на языке путевых диаграмм (PATH), в модель для дисперсий и ковариации переменных. Программа определяет, какие значения дисперсий и ковари­ации переменных получаются в текущей модели на основа­нии входных данных. Модель записывается в файл модели с расширением *.CMD.

3. Программа проверяет, насколько хорошо полученные дис­персии и ковариации удовлетворяют предложенной модели.

4. Программа сообщает пользователю полученные результаты статистических испытаний, а также выводит оценки пара­метров и стандартные ошибки для численных коэффициен­тов в линейных уравнениях вместе с большим количеством дополнительной диагностической информации.

5. На основании этой информации пользователь решает, хор⁰' шо ли текущая модель согласуется с исходными данными-

152

Путевой анализ в пакете STATISTICA

Для задания структурных связей между переменными в пакете STATISTICA используется командный язык PATH, который по ^своим возможностям похож на диаграммы путей. Только для прос­ох систем можно описать связи между переменными сразу на ^ЯзЫке PATH. Сложные системы желательно вначале изобразить "Рафически. Для этого служат диаграммы путей, которые можно Построить либо на бумаге, либо непосредственно на экране, ис­пользуя графические возможности системы STATISTICA или ка-°^го-нибудь иного графического редактора.

153

154

зе или остатки в регрессионном), изображаются внутри овалов или окружностей.

Следует помнить, что идеальное соответствие модели и данных невозможно по ряду причин. Структурные модели с линейными зависимостями, как и любые другие математические модели, пред. ставляют собой лишь приближение реальных явлений. Природные же явления, как правило, далеки от линейных зависимостей. Ис­тинность многих статистических предположений, накладываемых на исследуемую модель, остается под вопросом. По этой причине в прикладных исследованиях вместо вопроса «Идеально ли модель согласуется с данными?» должен ставиться вопрос «Согласуется ли модель достаточно хорошо, чтобы быть полезной для практиче­ского использования и разумного объяснения структуры наблюда­емых данных?»

Согласно документации пакета STATISTICA диаграммы путей состоят из переменных, соединенных стрелками и дугами, пред­ставляющими соответственно направленные и ненаправленные связи между переменными. Эти переменные должны быть либо эндогенными, либо экзогенными.

Эндогенная (или внутрисистемная) переменная — это перемен­ная, которая входит в качестве зависимой переменной хотя бы в одно линейное уравнение структурной модели. На эндогенные переменные указывает как минимум одна стрелка. На рис. З в ка­честве эндогенной выступает переменная Cs.

Экзогенная (или внесистемная) переменная — это переменная, которая не входит в качестве зависимой переменной ни в одно уравнение структурной модели. На рис. З в качестве экзогенной выступает переменная Ys. На экзогенную переменную может ука­зывать одна-единственная стрелка ее собственной дисперсии (epsl нарис. З).

Таким образом, любая переменная относится к одной из четы­рех категорий: явной эндогенной (manifest endogenous), явной эк­зогенной (manifest exogenous), латентной эндогенной (latent endo­genous) и латентной экзогенной (latent exogenous).

Правила составления диаграммы путей состоят из девяти пунктов:

1. Явные переменные всегда изображаются в прямоугольниках или квадратах, а латентные переменные — внутри овала или окружности.

2. Каждая направленная связь представляется с помошь¹⁰ стрелки между двумя соответствующими переменными.

156

3. Ненаправленные связи не обязательно должны явно отобра­жаться на диаграмме.

4. Ненаправленные связи, явно отображаемые на диаграмме, обозначаются в виде дуги от переменной к самой себе или к другой переменной.

5. Эндогенные переменные не могут соединяться с другими переменными с помощью дуг.

6. Номера свободных параметров выводятся в виде чисел, раз­мещенных на середине дуги или стрелки.

7. Фиксированное значение для дуги или стрелки всегда при­водится в виде числа с плавающей точкой. Это число обычно располагается на середине дуги или стрелки.

8. Диаграммы, относящиеся к разным вероятностным про­странствам, отделяются разграничительной линией и слова­ми «Группа 1» (для первого пространства), «Группа 2» и т.д. в каждой области диаграммы.

9. Для всех экзогенных переменных должны быть явно или неявно указаны с помощью фиксированных значений или свободных параметров их дисперсии и ковариации.

Если ковариации или дисперсии выражены неявно, выпол­няются следующие правила:

1. для латентных экзогенных переменных дисперсии, не име­ющие явного выражения на диаграмме, предполагаются фиксированными и равными единице, а ковариации, не имеющие явного описания, — равными нулю;

2. для явных экзогенных переменных дисперсии и ковариации, не имеющие явного представления на диаграмме, полагаются свободными параметрами, каждый из которых имеет свой порядковый номер. Номера свободных параметров не совпадают с номерами параметров, явно употребляемыми на диаграмме.

Существуют простые правила, задающие соответствия между Представлением модели с помощью диаграммы и представлением на языке PATH.

1. Каждая стрелка или дуга записывается на отдельной строке.

2. Пробелы игнорируются.

3. Явные переменные представляются полными именами, за­ключенными в квадратные скобки.

4. Имя [CONSTANT] резервируется для обозначения перемен­ной с дисперсией 0 и средним 1.

157