Аналитическая геометрия на плоскости. Основные задачи.

1 . Числовой прямой или числовой осью называется

2 . Декартовой системой координат называются

Горизонтальная ось называется

Вертикальная ось называется

3 . Координатами точки M на плоскости называется

4. Расстояние между двумя точками плоскости A(x₁;y₁ ), B(x₂;y₂) находится по формуле

5. Найдите расстояние между точками:

а) A(3;5 ), B(7;5);

б) A(-4;1 ), B(0;2);

в) A(6;-2 ), B(-6;8);

6. Теорема (деление отрезка в данном отношении). Приведите формулировку теоремы.

7. Если точка С (x₀;y₀ ) делит отрезок AB, A(x₁;y₁ ), B(x₂;y₂) пополам, то координаты точки С находятся по формуле

8. Точка С (x₀;y₀ ) делит отрезок AB пополам, то координаты точки С, если:

а) A(-5;2 ), B(3;4);

б) A(8;-1 ), B(3;6);

в) A(0;4 ), B(-2;7);

9. Отрезок AB, A(-4;5 ), B(0;3) разделён на три равные части точками

C и D. Найдите координаты: а) точки C; б) точки D.

а)

б)

10. Отрезок AB, A(2;7 ), B(-3;6) разделён на четыре равные части точками

C , D, F. Найдите координаты:

а) точки C;

б) точки D;

в) точки F;

1 1. Углом наклона прямой l к оси ox называется

О бозначается

1 2. Угловым коэффициентом называется

О бозначается

13. Определите углы наклона следующих прямых:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

14. Теорема. Если прямая l не параллельна оси oy и на этой прямой заданы

две точки A(x₁;y₁ ), B(x₂;y₂) , то угловой коэффициентов прямой находится

по формуле

15. Найдите угловые коэффициенты прямых, если известно, что прямые

проходят через точки.

а) A(-5;3 ), B(-1;7);

б) A(8;0 ), B(-4;5);

в) A(0;6 ), B(3;4);

г) A(-2;7 ), B(0;-3);

16. Напишите:

а) уравнение прямой с угловым коэффициентом

б ) общее уравнение прямой

в) уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении

г) уравнение прямой, проходящей через две данные точки

д) уравнение прямой « в отрезках на осях»

е) нормальное уравнение прямой

1 7. Углом между двумя прямыми l₁ и l₂ называется

18. Найдите угол между прямыми ,

1 9. Теорема (условие параллельности двух прямых ). Приведите формулировку теоремы.

2 0. Теорема (условие перпендикулярности двух прямых ). Приведите формулировку теоремы.

21. Напишите прямых l₁и l₂, заданных своими общими уравнениями.

а)

б)

22. Укажите параллельные прямые:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

23. Укажите перпендикулярные прямые:

а) , ;

б) , .

в) , ;

г) , .

24. Составление уравнения прямой, если известно, что:

а) прямая проходит через точку A(0;3)параллельно оси ox;

б) прямая проходит через точку A(-4;0) перпендикулярно оси ox;

в) прямая проходит через точку A(-3;5)параллельно биссектрисе первого и третьего координатных углов;

г) прямая проходит через точку A(2;-1)перпендикулярно биссектрисе второго и четвёртого координатных углов;

д) прямая проходит через точку A(-4;0)параллельно ;

е) прямая проходит через точку A(2;-5) перпендикулярно

25. Отрезок AB, A(-2;3 ), B(1;-5) разделён на четыре равные части точками

C , D, E. Найдите уравнение прямых, проходящих через точки деления, перпендикулярно AB.

26. Отрезок AB, A(4;-3 ), B(0;1) разделён на три равные части точками

C , D. Найдите уравнение прямых, проходящих через точки деления, перпендикулярно AB.

27. При каком значении параметра a прямые

и перпендикулярны ?

28. При каком значении параметра a прямые и параллельны ?

29. Расстояние от точки C (x₀;y₀) до прямой l∶ Ax+By+C=0 находится по формуле

30. Найдите расстояние от точки C до прямой Ax+By+C=0,если:

а) C(-4;5),

б) C(0;7),

в) C(-2;6),

31. Треугольник задан вершинами:

а) A(-1;1), B(6;4), C(3;-2); б) A(-1;1), B(6;4), C(3;-2);

в) A(-2;1), B(7;4), C(-6;2);

Постройте треугольник.

Найдите:

а) длины сторон; б) уравнение сторон;

в) уравнение медиан; г) внутренние углы треугольника

д) длины медиан; е) длины высот;

ж) точку пересечения высот треугольника;

з) точку пересечения медиан треугольника;

и) площадь треугольника.

32. Проверьте, что точки A(-2;-2), B(3;-1), C(7;7), D(3;1); являются вершинами трапеции, и составьте уравнения средней линии и диагоналей трапеции.

33. Найдите ординату точки C(5;y),если известно, что прямая AB,

A(-2;-2), B(3;-1) проходит через эту точку.

34. Даны две точки A(-3;1), B(3;-7). На оси ординат найдите такую точку M, что бы прямые AM и MB были перпендикулярны.

35. Диагонали ромба, равны 10 и 4 единицам длины, приняты за оси координат. Напишите уравнения сторон ромба.

36. Найдите величины отрезков, отсекаемых на осях координат прямыми:

а)

б)

в)

г)

37. Даны уравнения сторон треугольника: ,

, . Найдите координаты его вершин.

38. Даны вершины четырёхугольника: A(-9;0), B(-3;6), C(3;4), D(6;-3).

Найдите точку пресечения его диагоналей AC и BD и найдите угол между ними.

39. Найдите координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 2 , , и уравнение одной из его диагоналей .

40. Даны уравнение двух смежных сторон параллелограмма:

, и точка пересечения его диагоналей M(3;-1).

Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.