Исходные данные.

Курсовая работа представляет собой расчет нелинейной САУ с двухпозиционным регулятором. Рассчитывается система автоматической стабилизации сил натяжения левой и правой кромок движущейся ленты ткани. Принцип работы этой системы показан на Рис. 1.

Рис. 1

Численные параметры системы:

К_d = 0.104 B/H

K₁ = 0.285 рад/c B

K₂ = 0.0721 рад/c Н

K₃ = 115

T = 0.48 c

b = 0.0112 B

 = 0.0114 рад

Движущаяся ткань последовательно обходит ролики 1 и 2. Ролик 1 может поворачиваться вокруг вертикальной оси двигателя М со встроенным редуктором. Это приводит к изменению разности сил натяжения левой и правой кромок ткани на выходе системы разница сил обозначается f(t). Она представляет собой ошибку регулирования, которая измеряется датчиком Д и выдается в регулятор Р в форме электрического сигнала:

e(t) = K_d f(t)

где: K_d - коэффициент усиления датчика.

Регулятор Р представляет собой электрической реле и выходной сигнал описывается следующим математическим уравнением:

, при e(t)<-b; -b<e(t)<b если de(t)/d(t)>0

, при e(t)>b; -b<e(t)<b если de(t)/d(t)<0

где: U(t) – напряжение на выходе регулятора;

b, c – постоянные статической характеристики реле.

График зависимости U(t) показан на Рис. 2

Рис. 2

Напряжение U(t) поступает на управляющую обмотку двигателя М и обеспечивает поворот через редуктор поворот ролика 2 в таком направлении, чтобы обеспечить уменьшение разности сил натяжения кромок ткани f(t). Двигатель с редуктором и нагрузкой описывается уравнением:

где:

Ф(t) – угол поворота рамки ролика 2 вокруг вертикальной оси;

f_в(t) – случайно изменяющаяся во времени разность сил натяжения левой и правой кромок ткани на выходе системы, т.е. перед роликом 1(возмущающее воздействие);

K₁ – коэффициент передачи по управляющему воздействию;

K₂ – коэффициент передачи по возмущающему воздействию;

T – постоянная времени двигателя.

Разность сил натяжения ткани на выходе системы за роликом 2 перед датчика Д связана с разностью сил натяжения ткани на входе системы соотношением:

F(t) = f_в(t) – K₃Ф(t)

где:

K₃ – постоянный коэффициент преобразования угла поворота валика 2 в разность сил натяжения.

Величину напряжения “с” на выходе регулятора необходимо определить в процессе выполнения работы.

Задание.

1. Построить структурную схему системы автоматического регулирования. Преобразовать структурную схему таким образом, чтобы на ней было показано задающее воздействие g=0 (соответствует идеальному алгоритму управления f(t)=0), и чтобы при этом возмущающее воздействие поступало в замкнутый контур в одном месте.

2. С целью исследования автоколебаний привести схему к расчетной, содержащей без инерционный нелинейный элемент и линейную часть. При выполнении этого задания считать, что f(t)=0, т.к. автоколебания представляют собой свободное движение системы.

3. Использую метод гармонической линеаризации получить гармоническую передаточную функцию нелинейного элемента.

4. Использую уравнение гармонического баланса, доказать что при любом с в системе возникают устойчивые автоколебания. Найти наибольшую величину с, при котором амплитуда колебаний ролика не превосходит допустимого значения . Определить частоту и амплитуду этих колебаний.

5. Построить зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от величины напряжения регулятора, выбрать рабочее значение этого напряжения.

Расчет.

1. Построим структурную схему системы. Для этого найдем передаточные функции элементов системы:

Регулятор:

, при e(t)<-b; -b<e(t)<b , если de(t)/d(t)>0

, при e(t)>b; -b<e(t)<b , если de(t)/d(t)<0

Датчик:

e(t) = K_д f(t) W( S ) = K_д

Двигатель:

W( S ) =

Рамка:

F(t) = f_в (t) – K₃ Ф(t) W( S ) = K₃

В результате получаем структурную схему системы изображенную на Рисунке 3

Рисунок 3

Преобразуем структурную схему так, чтобы возмущающее воздействие поступало в замкнутый контур управления в одном месте и покажем задающее воздействие g(t)=0. Преобразованная схемы изображена на Рисунке 4.

Рисунок 4

2. Для применения метода гармонической линеаризации приведем схему к расчетной, т.е. содержащей без инерционный нелинейный элемент и собранную в одно звено линейную часть.

Расчетная схема изображена на Риссунке 5.

Рисунок 5

3. Метод гармонической линеаризации состоит в том, что автоколебания в системе ищутся в виде гармонического сигнала, т.е. :

y = a sin(wt)

где:

a – амплитуда автоколебаний

w – частота автоколебаний

Заменим нелинейное звено эквивалентным линейным с передаточной функцией:

W_нл( S ) = ,

Где и коэффициенты гармонической линеаризации и для реле с гистерезисом

a > b

4. Для доказательства того, что при любом с0 в системе возникают устойчивые автоколебания воспользуемся графическим методом Гольдфарба. Из метода следует, что если равенство:

существует, т.е. соответствующие годографы пересекаются, то в системе возникают автоколебания.

Для выяснения вопроса о пересечении годографов построим их:

Годограф линейной части с передаточной функцией

, где K = K₁ K₃ K_d

5	-0.242- j 0.101
10	-0.068- j 0.014
20	-0.018- j 1.829*10-3
30	-7.852*10-3- j 5.453*10-4
40	-4.426*10-3- j 2.305*10-4
50	-2.836*10-3- j 1.181*10-4

и годограф:

видно, что мнимая часть годографа преобразованной линейной части не зависит от a и следовательно он будет представлять из себя прямую параллельную действительной оси. Расстояние до нее зависит только от параметров статической характеристики нелинейного элемента. В частности: асимптотически приближается к оси при увеличении значения с.

с
0.2	-0.044
0.5	-0.018
1	-8.796*10-3
3	-2.932*10-3
5	-1.759*10-3
8	-1.1*10-3

Годографы изображены на Рис. 6.

Рис. 6

Из графика видно, что пересечение годографов будет происходить при любом значении с и следовательно при любом значении с в системе будут наблюдаться автоколебания.

Найдем такое значение с, при котором амплитуда колебаний ролика не превышает , а это значит что амплитуда автоколебаний на входе системы не превышает:

Соответствующее этой амплитуде значение с будем искать, пользуясь уравнением гармонического баланса:

Решая систему получаем:

при a=a_max

рад/c B

5. При построении зависимостей (c) и (c) воспользуемся только что полученными уравнениями:

(1) (2)

из (1)

Теперь задаваясь значениями  можно получить значения а и с:

с	a	
3.175E-3	0.012	1
0.087	0.029	5
0.62	0.055	10
2.045	0.081	15
4.808	0.108	20
9.594	0.136	25.212
16.131	0.215	30

Графики изображены на Рис. 7 , и Рис.8.

Рис. 7

Рис. 8

Выбираем рабочее значение напряжения регулятора с = 8 В

Выводы

В результате исследования автоколебаний системы

1. Построена структурная схема рассматриваемой системы управления

2. Выведена передаточная функция линейной части системы управления

3. С помощьюметода гармонической линеаризации выведена гармоническая передаточная функция нелинейной части системы управления

4. Доказано, что при любом св системе будут иметь место устойчивые автоколебания

5. Выбрано рабочее значение регулятора с = 8 В