Лекции по Теории автоматического управления (ТАУ) / ТАУ ЛЕКЦИЯ 4

10

ЛЕКЦИЯ 4.

Апериодическое звено II-ого порядка

1. Передаточная функция.

Передаточная функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:

W(s) = K/[(T₁·s + 1)·(T₂·s + 1)]

где K – коэффициент усиления; T₁ и T₂ – постоянные времени, также характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T₁ > 0 и T₂ > 0).

2. Математическое описание звена.

Апериодическое звено II-ого порядка описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(T₁T₂)·d²у(t)/dt² + (T₁ + T₂)·dу(t)/dt + у(t) = K·х(t)

3. Физическая реализация звена.

Апериодическое звено II-ого порядка можно рассматривать как комбинацию двух апериодических звеньев I-ого порядка, т.е. это могут быть различного рода двухъемкостные (двухкаскадные) тепловые, гидравлические и пневматические объекты. Примером апериодического звена II-ого порядка также является двухфазный асинхронный электродвигатель.

4. Переходная характеристика.

Переходная характеристика апериодического звена II-ого порядка имеет вид:

h(t) = L^-1[W(s)·1(t)] = L^-1[K/[s·(T₁·s + 1)·(T₂·s + 1)]] =

= K·[1 – (T₁/(T₁ – T₂))·e^-t/T1 – (T₂/(T₂ – T₁))·e^-t/T2]

В частном случае, когда T₁ = T₂ = T аналитическое выражение для переходной характеристики имеет несколько иной вид:

h(t) = L^-1[W(s)·1(t)] = L^-1[K/[s·(T·s + 1)²]] =

= K·[1 – e^-t/T – (t/T)·e^-t/T]

Рис. 4.1. Переходная характеристика апериодического звена П-го порядка.

Переходный процесс апериодического звена II-ого порядка имеет экспоненциальный вид с перегибом в начальной области. Это означает, что звено имеет высокую инерционность и как бы не сразу начинает реагировать на входное воздействие. Установившееся значение равно: h_уст = K.

Время регулирования T_у (время переходного процесса) для апериодического звена II-ого порядка в 3 – 5 раз превышает значение большей из постоянных времени.

T_у ≈ (3 ÷ 5)·T₂

4. Весовая функция.

Весовая функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:

w(t) = L^-1[W(s)] = L^-1[K/ [(T₁·s + 1)·(T₂·s + 1)]] =

= K·[(1/(T₁ – T₂))·e^-t/T1 + (1/(T₂ – T₁))·e^-t/T2]

В частном случае, когда T₁ = T₂ = T аналитическое выражение для весовой функции имеет несколько иной вид:

w(t) = L^-1[W(s)] = L^-1[K/ (T₁·s + 1)²] =

= (K·t/T²)·e^-t/T

Для весовой функции апериодического звена II-ого порядка характерно плавное изменение амплитуды с максимумом: 1) в точке t = T для случая, когда T₁ = T₂ = T; 2) в точке t = T_П (приведенная постоянная времени) для случая, когда T₁ ≠ T₂.

Приведенная постоянная времени T_п определяется по формуле:

Рис. 4.2. Весовая характеристика апериодического звена П-го порядка.

5. Частотные характеристики.

Частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ) апериодического звена II-ого порядка имеют достаточно сложный аналитический вид.

Переход к асимптотической ЛАХ: Будем считать, что T₁ > T₂. Аналогично случаю апериодического звена I-ого порядка вводим сопрягающие частоты ₁ = 1/T₁ и ₂ = 1/T₂, которые делят весь частотный диапазон на три участка: область низких частот, область высоких частот и промежуточную область.

Область низких частот:  << ₁; можно пренебречь выражениями под логарифмами. Получаем: L() = 20lgK. Это горизонтальная прямая.

Область высоких частот:  >>₂; в логарифмах можно пренебречь единицами. Получаем L() = 20lgK – 20lgT₁ – 20lgT₂. Это – уравнение прямой с наклоном -40дб/декаду.

Промежуточная область частот: ₁ >  > ₂. Строим прямую, соединяющую оба предыдущих участка.. Получаем L() = 20lgK – 20lgT₁. Это – уравнение прямой с наклоном -20дб/декаду.

Рис. 4.3. АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ и ЛФХ апериодического звена II-ого порядка.

Колебательное звено

1. Передаточная функция.

Передаточная функция колебательного звена имеет вид:

W(s) = K/[T²·s² + 2T·ξ·s + 1]

где K – коэффициент передачи; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T > 0); ξ – коэффициент (декремент) затухания, который характеризует рассеяние энергии в звене ( 0 < ξ < 1).

При ξ1 колебательное звено превращается в апериодическое звено П-го порядка.

2. Математическое описание звена.

Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

T²·d²у(t)/dt² + 2T ξ·dу(t)/dt + у(t) = K·х(t)

3. Физическая реализация звена.

Примером колебательного звена является электрический колебательный контур, груз на пружине, маятник, стрелочный прибор.

4. Переходная характеристика.

Переходная характеристика колебательного звена имеет вид:

h(t) = L^-1[W(s)/s)] = L^-1[K/[s·(T²s² + 2T ξs +1)]] =

Переходная функция имеет достаточно сложный вид, но наиболее характерно то, что имеется экспоненциальное затухание переходного процесса с коэффициентом - ξ/T, а также колебательность с частотой .

Здесь важно отметить, что частота зависит от коэффициента затухания. При ξ → 0 ω_к → 1/T; при ξ → 1 ω_к → 0.

5. Весовая функция.

Весовая функция колебательного звена имеет вид:

w(t) = L^-1[W(s)] = L^-1[K/(T²s² + 2T ξ s +1)] =

Рис. 4.4. Переходная и весовая характеристики колебательного звена.

6. Частотные характеристики.

Частотные характеристики колебательного звена имеют следующий вид:

W(jω) = K/(T²·(–jω)² + 2T ξ ·jω + 1) =

Переход к асимптотической ЛАХ: заменяем истинную ЛАХ – ломаной асимптотической. Выделим области низких и высоких частот и по отдельности рассмотрим поведение ЛАХ в этих областях.

Область низких частот: T << 1; т.е.  << 1/T; можно пренебречь выражением T²². Получаем: L() = 20lgK. Это горизонтальная прямая.

Область высоких частот: T >> 1; т.е.  >> 1/T; можно пренебречь 1 в сравнении с выражением T²². Получаем L() = 20lgK – 40lg(T). Это – уравнение прямой с наклоном -40дб/декаду.

Рис. 4.5. АФЧХ, ЛАХ и ЛФХ колебательного звена.

Точке пересечения этих прямых соответствует сопрягающая частота ω₁ = 1/T.

Принципиальное отличие ЛАХ колебательного звена от ЛАХ инерционных звеньев состоит в том, что в районе сопрягающей частоты ω_с = 1/T имеется максимум (так называемый "горб"), из-за чего поведение асимптотической ЛАХ в этой области может существенно отличаться от истинной. Это явление называется резонансом. При этом максимум усиления амплитуды достигается при частоте:

, а .

Как видно из приведенного выражения, резонанс в колебательном звене может возникнуть только при малых значениях a (), т.е. когда рассеяние энергии во внешнюю среду невелико.

Также надо отметить, что сопрягающая частота (ω_с), частота собственных колебаний (ω_к) и резонансная частота (ω_max) колебательного звена не совпадают. Однако при малых значениях параметра ξ, когда явление резонанса проявляется достаточно сильно, разница между ω_с, ω_к и ω_max мала, и на практике эти частоты обычно считают равными ω^* = 1/T.

Интегрирующее звено

1. Передаточная функция.

Передаточная функция интегрирующего звена имеет вид:

W(s) = K/s = 1/T·s , где K – коэффициент усиления; T – постоянная времени (время интегрирования); T = 1/K.

2. Математическое описание звена.

Интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

dу(t)/dt = K·х(t)

T·dу(t)/dt = х(t)

В интегральной форме это уравнение имеет вид:

или

3. Физическая реализация звена.

Примерами интегрирующего звена являются: резервуар, наполняемый жидкостью; электродвигатель постоянного тока; гидроцилиндр с распределительным золотником, операционный усилитель в режиме интегрирования.

4. Переходная функция.

Переходная функция интегрирующего звена имеет вид:

h(t) = L^-1[W(s)/s] = L^-1[K/s²] = K·t = t/T

5. Весовая функция.

Весовая функция интегрирующего звена имеет вид:

w(t) = L^-1[W(s)] = L^-1[K/s] = K·1(t) = (1/T)·1(t)

Рис. 4.6. Переходная и весовая функции интегрирующего звена.

6. Частотные характеристики.

Найдем АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ интегрирующего звена:

W(jω) = K/jω = Kω·j/ω² = 0 – (K/ω)·j = 0 – (1/Tω)·j

A(ω) = = K/ω = 1/T ω

φ(ω) = arctg(-(K/ω)/0) = –arctg(∞) = –π/2 = –90⁰

L(ω) = 20·lg[A(ω)] = 20·lg(K/ω) = 20lg(K) – 20lg(ω) = –20 lg(Tω)

Таким образом, интегрирующее звено ослабляет высокие частоты и неограниченно (теоретически) усиливает низкие частоты. Фазовый сдвиг постоянен и равен –90⁰.

Рис. 4.7. АФЧХ и ЛАХ интегрирующего звена.