Добавил:

Vezen Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

ТОЭ - Расчет линейных электрических цепей переменного тока

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

829.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

j .10

j .8

3 z4

j .7

← Исходные данные.

5 e4

j .110

180

← Формула перевода из радиан в

градусы.

z11

z11 = 3 + 20i

← Расчет собственных и общих

z22

z22 = 6 + 11i

комплексных сопротивлений.

z12

z12 =

10i

z21

z12

z13

z13 =

10i

z23

z23 =

z13.j1

inn

z11

z12 .

← Расчет контурных токов.

z23.j1

z21

z22

i11 = 2.26 + 3.98i

i22 = 11.72 + 7.29i

i11

ψi1

rg.arg(i1)

← Расчет токов ветвей.

2.74 + 3.98i

I1 = 4.83

ψi1 = 124.51

i22

ψi2

rg.arg(i2)

= 6.72 + 7.29i

I2 = 9.91

ψi2 = 47.31

i11

ψi3

rg.arg(i3)

= 2.26 + 3.98i

I3 = 4.58

ψi3 = 60.4

i22

i11

ψi4

rg.arg(i4)

= 9.46 + 3.3i

I4 = 10.02

ψi4 = 19.25

i22

ψi5

rg.arg(i5)

11.72

7.29i

I5 = 13.8

ψi5 =

148.13

i1.z1

i2.z2Uj

ψuj

rg.arg(uj)

← Расчет напряжения на источнике

Uj = 90.84

ψuj =

50.5

тока.

uj.

e4.

sej

← Расчет комплексной мощности

sej = 652.26 + 689.82i

источников.

I12.z1

I22.z2

I32.z3

I42.z4

I52.z5

← Расчет комплексной мощности

sz = 652.26 + 689.82i

нагрузок.

Задача 3.7

В цепи со схемой рис. 3.8 действующее значение синусоидальной э. д. с. Е = 2 В.

Частота f = 1000 Гц; R1 = 1600 Ом; R2 = 2700 Ом; C = 0,05 мкФ; µ = – 1. На частоте f комплексное сопротивление нагрузки Z = 5100 + j3000 Ом.

Найти мгновенное значение тока в нагрузке.

Решение

Определяем направления токов ветвей и напряжений U&1 и U&2 узлов 1 и 2 как на рис. 3.8. Принимаем E& = Е.

Уравнения метода узловых напряжений

I&C

имеют вид

1 &

R1 1

−

Z C

I&1

I&2

I&3

;

µU&1

U&2

U&2 = µU&1,

откуда

Рис. 3.8

U&	1 =	E&	R	.
U&	1 =		1	.
			1
		1 R1 +(1−µ)(1 R2 +1 Z C )

Комплексное сопротивление емкости С на частоте ω = 2π f = 6283 c-1

Z C = − j ωC = −3,18 103 j Ом.

Тогда

			2 1600					o
U&1	=							=0,83e j155	В;
U&1	=	1		1		1		=0,83e j155	В;
		1		1	+	1	3
		1600	+ (1+1)	2700	+	− j3,18 10	3
		1600		2700		− j3,18 10

U&2 = µU&1 = e− j180o 0,83e j155o = 0,83e− j25o В.

Комплексное действующее значение тока нагрузки

I& = UZ&2 = −8,026 10−5 +1154, 10−4 =1,405 10−4 e j125o А.

Мгновенное значение тока определяется по выражению:

i = Im( 2Ie& jωt ) = Im( 2 1,405 10−4 e j125oe jωt ) = 2 10−4 sin(ωt +125o) А.

Задача 3. 8

В цепи со схемой замещения

I&C

рис. 3.9 действующее значе-

ние синусоидальной э. д. с.

I&3

Е = 2 В. Частота f = 1000 Гц;

I&1

R1 = 160 Ом; R2 = 2700 Ом;

I&4

R3 = 30000 Ом; C = 0,1 мкФ,

U&10

G = 0,001 Ом–1. На частоте f

U&20

комплексное сопротивление

GU1

нагрузки

Z = 300 + j600 Ом.

Рис. 3.9

Найти мгновенное значение тока в нагрузке. Рассчитать баланс мощностей.

Решение

Назначаем направления токов и напряжений U&10 ; U&20 узлов как на рис. 3.9.

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид:

− I&1 + I&2 + I&3 + I&C = 0;

I&− I&4 − I&3 − I&C = 0.

Выражаем токи ветвей через напряжения U&10

и U&20 :

I&1 =

E& −U&10

; I&2

U&10

; I&3

U&10 −U&20

; I&C

U&10 −U&20

; I& =

U&20

;

Z C

I&4 = GU&1 = G(E& −U&10 ) ,

получаем узловые уравнения:

+ Z

= R ;

U10 − R

+ Z

+ R

+ Z

= GE.

− R

−G U10

+ Z

В узловых уравнениях для схем цепей с зависимыми источниками в общем случае

Y12 ≠ Y 21 .

Ток нагрузки равен

I& = U&Z20 .

Комплексные мощности источника Sист и нагрузок Sпот соответственно равны:

Sист =

E& −U&10

;

U12

U102

U122

U20

Sпот =

Z C

−U

20 I4

где E и I4 – сопряженные комплексные значения э. д. с. E& и тока I&4 , U1 ; U10 ; U12 ; U20 – действующие значения напряжений.

Внимание. При расчете по этим выражением комплексных мощностей знак + перед реактивной мощностью в выражении S = P + jQ соответствует емкостному характеру нагрузки.

Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже.

160.0

2700

30000 z

300

j .600

← Исходные данные

0.1.10 6

0.001

1000 E

← Расчет комплексного сопро-

тивления емкости на частоте f

2.π.f

ω = 6.283 10

ω.C

Y11

Y22

Y12

Y21

Ynn

Y11

Y12

Y21

Y22

J11

J22

G.E

Jnn

J11

J22

Un0

Ynn 1.Jnn

Un0 =

1.738

0.215j

0.605 +

1.247j

u10

Un00 u20

Un01

u20 =

0.605 + 1.247j

u20

i = 1.259 10

+ 1.638 10

3 j

Im = 2.922 10

ψi

180.arg(i)

ψi = 52.457

u10

U10

u10

U12

u10

u20

U20

u20

U12

U102

U122

U202

U122

u20.G.(E

. E

u10

Sz = 3.28 10

+ 2.687 10

3 j

Se = 3.28 10

+ 2.687 10

3 j

←Расчет собственных и общих комплексных проводимостей

←Расчет матрицы узловых проводимостей

←Расчет узловых токов

←Расчет узловых напряжений

←Расчет комплекса действующего значения тока нагрузки

←Расчет амплитудного значения тока нагрузки

←Расчет начальной фазы тока нагрузки

←Расчет действующих значений напряжений для баланса мощностей

u10) ←грузокКомплексная мощность на-

← Комплексная мощность источника Sист

Из расчета следует:

−амплитудное значение тока нагрузки Im = 2,92 мА;

−начальная фаза ψi =52,5°,

следовательно, мгновенное значение тока i(t) = 2,92sin(ωt +52,5o) мА.

Комплексные мощности:

− Sист = 3,28 10−3 + 2,687 10−3 j ВА; − Sпот = 3,28 10−3 + 2,687 10−3 j ВА.

Баланс выполняется, Sист = Sпот .

Задача 3. 9

В цепи с операционным усилителем ОУ (схема на рис. 3.10) действующее значение синусоидальной э. д. с. Е = 1 В. Частота f = 1000 Гц. Найти амплитудное значение напряжения U&выхи угол сдвига фаз ψ между этим напряжением и э. д. с. E& . Параметры элементов ветвей: R1 = 2300 Ом; R2 = R1; R = 5100 Ом; С1 = 0,068 мкФ; С2 = С1. Операционный усилитель – идеальный.

	I&C1			C1
I&	I&C1		R	ОУ		I&
I&	R		R	ОУ		I&
1	1		2	1		вых
	a	&		2
		I2	&	2			R
	U&a		IC2				R
	U&a						U&вых
	E&		C2
			C2	&		&	R
				U1	=U2		R
			Рис. 3. 10

Решение

Назначаем положительные направления токов ветвей как на рис. 3.10. Пусть

E& = E = 1 В.

Идеальный ОУ не потребляет ток по входам 1 и 2, поэтому I&2 = I&C2 Напряжение

U&1 = U&2 =U&вых 2 .

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов а и 1 имеют вид:

−I&1 + I&2 − I&C1 = 0

−I&2 + I&C2 = 0.

Выражаем токи ветвей через напряжения U&a

и U&вых:

E& −U&a

U&a −U&вых

U&вых −U&a

вых

; I2

; IC1 =

Z C1

; IC 2

2Z C 2

Получаем узловые уравнения:

2R +

вых = R ;

R + R

−

− R

+ 2Z

вых = 0 .

C 2

Следует обратить внимание, что в узловых уравнениях Y12 ≠ Y 21 . Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже.

2300

5100

0.068.10 6

180

1000

ω0

6283

zc1

zc2

.ω0.C1

.ω0.C2

zc1

2.R2

zc1

. R1

ub_x

2.R2

2.zc2

1.034

0.981i

ub_x

0.071

2.033i

←Исходные данные.

←Формула перевода из радиан в градусы.

←Расчет комплексных сопротивлений емкостей на частоте f.

←Расчет узловых напряже-

ний U&a и U&вых .

ub_x = 0.07

2.03i

ψub_x

rg.arg(ub_x)

ψub_x =

Ub_xm

ub_x

Ub_xm = 2.88

Комплексное действующее значение

U&вых

= 0,07 − 2,03 j = 2,033e− j88o В.

Амплитудное значение

Um = 2 2,033 = 2,88 В.

Поскольку E& =1e j0o , то угол сдвига фаз

ψ = 0 −(−88o) = 88o .

←Расчет U&вых .

←Расчет начальной фазы выходного напряжения.

←Расчет амплитудного значения выходного напряжения.

Примечания. Для цепи со схемой рис. 3.10 узловые уравнения можно записать непосредственно по виду схемы:

+ R

U1 −

Uвых =

;

Ua − R

− R

+ Z

= 0 ;

+ R

C 2

U&1 −U&вых2 = 0,

откуда

−

;

Z C1

2R2

Z C1

вых

	1	&	1		1			&
− R			2R	+ 2Z
− R		Ua +	2R	+ 2Z		C 2	Uвых = 0 .
2			2			C 2

Задача 3.10

Для электрической цепи со схемой рис. 3. 11 найти комплексное действующее значение тока I&.

Z I&

J&	Z 3
Y1	Z 2
	E&
	Рис. 3.11

Параметра		элементов ветвей:
Y 1	=0, 02 j	Ом –1; Z 2 = 80 j Ом;
Z 3	= 60 Ом; Z =50 Ом;

E& =– 100 В; J& =0,1 j А.

Решение

Для расчета тока одной ветви удобно избрать метод эквивалентного генератора.

Определяем э. д. с. эквивалентного генератора. Разрываем ветвь с сопротивлением Z . Рассчитываем напряжение холостого хода U&0 (рис. 1.12).

	U&0	Уравнение второго закона Кирхгофа
		для контура, указанного на рис. 3.12,
	Z 3	имеет вид			I&1
J&		U&0	+ I&2 Z 2 –			= 0,
Y1	Z 2			Y1
	E&	откуда
I&1
	I&2	U&0	&		Z 2 .
			= I1 – I&2
	Рис. 3.12		Y1

Находим:

−100

j127o

=1e

А; I1

= J = j 0,1 А;

Z 2

+ Z 3

j80 + 60

U&0 = j0,1 j0,02 – 1e j127o 80 j = 69 + 48 j = 84 e j35o

В.

Z Г

Определение комплексного сопротив-

ления эквивалентного генератора Z Г

Z 3

поясняет схема рис. 3.13.

Y 1

Z 2

Z Г =

Z 2 Z 3

Z 2 + Z 3

= 38,4– 21,2 j = 43,86 e− j 29o Ом.

Рис. 3.13

Ток I& определяем из уравнения

I& =	U&0	=	84e j35o	=0,615+0,69j = 0,82e	j 47,5o	А.
	Z Г + Z		43,86e− j 29o +50

Рассчитаем ток I& методом наложения.

В соответствие с методом ток ветви линейной электрической цепи определяется как алгебраическая сумма частичных токов, вызываемых действием каждого источника в отдельности.

Рассчитаем ток

I&01 от действия источ-

I&01

ника тока J&

(схема рис. 3.14).

Комплексное сопротивление

Z 023 = Z +

Z 2 Z 3

Z 2

Z 3

Z 2 + Z 3

= 50 + 38,4 + 28,8j = 88,4 + 28,8j =

= 93 e j18o Ом.

Рис. 3.14

Комплексная проводимость

Y =Y1 +

=0, 02 j + 0.0102 – 3.33 10 –3 j

= 0,0102 + 0,017 j =

Z 023

Ток

= 0,0196 e j58o

Ом–1.

0,1 j

I&01 =

= 0,0535+0,013j А.

Y Z 023

0,0196e j58 93e j18

Рассчитаем ток

I&02 от действия источ-

I&02

ника тока

(схема рис. 3.15).

Комплексные сопротивления:

Z 3

Z 2

Z 02

Z 2

+ Z +

Рис. 3.15

= 94,12+23,53 j = 97 e j14o Ом;

Z 302

= Z 3 + Z 02

= 60 + 94,12+23,53 j =156 e j8,7o Ом.

Ток

I&02 =

Z 02

−100

97e j14o

=– 0,56– 0,68 j А.

Z 302

156e j8,7

70,7e− j 45

Ток

I& = I&01 – I&02 = 0,0535+0,013j + 0,56+ 0,68 j = 0,615 + 0,69j = 0,82e j 47,5o А.

3.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1.Записать канонические формы узловых и контурных уравнения.

2.Как определяются собственные Y nn и общие Y km комплексные проводимо-

сти узлов?

3.Определить понятие узлового тока J&nn .

4.Как определяются собственные Z nn и общие Z km комплексные сопротивления контуров?

5.Определить понятие собственной э. д. с. контура E&nn .

6.Нарисовать граф и схему обобщенной ветви.

7.Записать для схемы рис. 3.16 узловые и контурные уравнения.

8.Определить правила записи то-

пологические матриц инциденций					J&1
	&				J&1
А, главных контуров В, э. д. с. Eb		&				Z1
	&	&				Z1
	&	I1
и токов источников тока Jb
обобщенных ветвей.		I&2		Z2		I&5	Z 5
9. Нарисовать направленный граф		I&2		Z2		I&5	Z 5	I&6
для схемы рис. 3.16. Записать		I&3						I&6
матрицы инциденций и главных		I&3
контуров для этого графа.		Z 3					Z 4	Z 6
10. Записать топологические мат-		Z 3				J&4		Z 6
10. Записать топологические мат-						J&4
&	&	E&						E&
рицы А, Eb и	Jb для графа схе-	E&	3				&	E&	6
мы рис. 3.16.							I4
11. Записать уравнения по мето-
ду контурных токов для цепей со						Рис. 3.16
схемами рис. 3.8 и 3.9.						Рис. 3.16

4. Расчет установившихся режимов цепи синусоидального тока с индуктивно связанными элементами

4. 1. Общие сведения

На рис. 4.1 а, б показаны фрагменты схем электрических цепей с индуктивно связанными элементами. Точками отмечены так называемые одноименные зажимы. Зажимы называются одноименными, если при одинаковом способе «подтекания» тока к этим зажимам потокосцепления само – и взаимоиндукции складываются.

	I&1		M	a)		I&1	б)
			M	a)			M L2
&	обход L1	L		L2	&	обход L1 L1	M L2
U1		1			U1
		I&	обход L			I&	обход L
		2		2		2	2
				U&2			U&2

Рис. 4.1

В установившимся режиме синусоидального тока напряжение на индуктивно связанных элементах определяются составляющими напряжений само – и взаимоиндукции. Для элементовL1 и L2 напряжения соответственно равны:

=U&

±U&

M 2

= jωL I&

± jωMI& ;

1 1

=U&

±U&

= jωL I&

± jωMI& .

2 2

При записи уравнений второго закона Кирхгофа для индуктивно связан-

ных

элементов составляющая

напряжения

самоиндукции U&

= jωL I&

1 1

записывается по тем же правилам, что при отсутствии индуктив-

2 2

ной связи: знак плюс ставится, если положительное направление тока и направление обхода элемента L1 или L2 совпадают.

Составляющая напряжения взаимоиндукции U&M 2 =U&12 = jωMI&2 в урав-

нение для элемента L1 входит со знаком плюс, если направление обхода элемента L1 и направление тока I&2 в элементе L2 относительно одноименных зажимов совпадают и со знаком минус, если не совпадают.

Правило знаков для U&M 1 =U&21 = jωMI&1 после замены индексов 1 на 2 и

2 на 1 остается таким же.

Для цепей со схемами рис. 4.1, а, б соответственно имеем:

U&		1	= jωL I&		+ jωMI&	; U&	2	= jωL I&		+ jωMI&	,
		1	1	1	2		2	2	2	1
U&	1		= jωL I&		− jωMI&	; U&	2	= jωL I&		− jωMI& .
	1		1	1	2		2	2	2	1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
20.06.20141.01 Mб91Лекции Теоретические основы электротехники (Основы теории цепей).doc
#
20.06.2014829.16 Кб59ТОЭ - Расчет линейных электрических цепей переменного тока.pdf
#
20.06.2014412.09 Кб31ТОЭ - Расчет линейных электрических цепей постоянного тока.pdf