5.9. Особенности и порядок практического применения прямого метода Ляпунова.

Данный метод применяется как при анализе, так при синтезе нелинейных систем. Однако это применение затрудняется отсутствием общих правил для однозначного выбора функции Ляпунова. Тем не менее для НСАР с одной статической нелинейностью, которая проходит через начало координат и расположена в первом и третьем квадрантахЭ, функцию Ляпунова можно выбрать в виде квадратичной формы от переменных состояния ЛЧ и плюс интеграл от нелинейности, то есть:

(6.12)

г де переменные состояния соответствуют так называемой канонической форме записи уравнений НСАР:

(6.13)

причём r  0; а _i< 0 – корень характеристического уравнения ЛЧ; _i>0, а коэффиценты  и  _i должны быть положительными, при этом достаточно часто пологают: _ii>0, а _ij=0, т.к. произведения разных переменных x_ix_j и x_i F(x), входящие в dV/dt, могут менять свой знак.

Итак порядок применения прямого метода Ляпунова:

1. Привести уравнения НСАР к каноническому виду (6.13) частности если ЛЧ содержит одно интегрирующее звено, то каноническая форма уравнений НСАР имеет следующий вид:

(6.12)

где r0, а _i<0 – корень характерестического уравнения ЛЧ.

З аметим, что системе уравнений (6.13) соответствует следующая структурная схема НСАР:

2. З аписать функцию Ляпунова (6.12) и требования к её коэффицентам:

где >0 и i>0

3. Найти в силу уравнений (6.13) производную функции (6.12)

(6.14)

4. Записать условия отрицательной определённости функции (6.14) и проверить их выполнимость. При этом возможны два случая:

1. когда r=0. В этом случае должно быть отрицательными коэффиценты при x_i² и F²(x), а коэффиценты при x_i*F(x) можно приравнять к нулю.

2. к огда r0. В этом случае иногда применяют теорему Сильвестра, согласно которой: Квадратичная форма:

г де С – матрица коэффицентов С_ij размерности nxn, причём С_ij = С_ji, а

положительна определена тогда и только тогда, когда все миноры главной диагонали матрицы “С” строго положительны. (Определители с вычеркнутыми i-столбцами и i-строкой матрицы С).

П ример: Найти условия устойчивости положения равновесия НСАР с: W_(S)=K/(1+Tp)p.

Решение:

1. Преобразуем и составим структурную схему

Н а основании этой схемы и уравнений (6.12) можно записать уравнения заданной НСАР в канонической форме:

(п.1)

2. З аписываем функцию Ляпунова: где >0 и >0 пока недействителен.

3. Находим

(п.2)

4. Находим условия отрицательной определённости dV/dt: Так как >0 и T>0, то первое слагаемое в (п.2) отрицательно-определённое. А для того, чтобы знакопеременное произведение x₁F(x) не входило в выражение для dV/dt полагаем равным нулю выражение в скобках. Откуда получим К/Т=2/. Но так как к>0, то последнее равенство всегда можно выполнить соответствующим выбором  и .

Вывод: положениие равновесия заданной НСАР асимптотически устойчиво в целом.

5.10. Метод фозового пространства. Основные понятия.

Фазовым называется пространство состояний автономной системы, то есть такой, в правых частях системы нормальных уравнений которой не содержится в явном виде времени t, то есть

Заметим, что требование автономности САР выполняется при ее свободном движении без внешнего воздействия, при ненулевых условиях (НУ), а также при прстейших типовых воздействиях, например, ступенчатом.

Чаще всего метод Фазового пространства применяется для исследования систем 2 –го порядка, когда оно вырождается в фазовую плоскость с координатами Х₁ и Х₂, то есть

(6.15)

Точка в фазовом пространстве, изображающая состояние системы в любой данный момент времени, называется изображающей, а ее траектория – фазовой траекторией.

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий можно получить из системы (6 .15), если исключить время поделив одно уравнение на другое, то есть

(6.16)

решение этого уравнения дает бесчисленное множество фазовых траекторий, образующих фазовый портрет системы.

Вектор на фазовой плоскости, координатами котрого являются скорости изменения фазовых координат, называется вектором фазовой скорости.

Он указывает направление движения изображающей точки в любой данный момент времени и направлен по касательной к фазовой траектории, так как tg угла ее наклона:

то есть равен производной

Заметим, что если функции f₁ и f₂ однозначны в каждой точке фазовой плоскости, то она содержит одно и только одно значение dx₂/dx₁ и, следовательно, фазовая траектория имеет в этой точке только одну касательную. В этом случае фазовые траектории не пересекаются во всем фазовом пространстве.

Если одна из функций f₁ или f₂ неоднозначна в некоторой части фазовой плоскости, то в этой части фазовой плоскости возможно пересечение 2-х фазовых траекторий или самопересечение одной фазовой траектории. Соответственно в точках пересечения фазовые траектории имеют две касательные и два значения dx₂/dx_1.

В отдельных так называемых “особых точках” фазового пространства обе функции f₁ и f₂ могут обратиться в ноль. Значит и

то есть неопределенность. Это означает наличие

бесконечного множества фазовых траекторий, сходящихся или исходящих из этой точки. А так как dx_i/dx_t = 0, то x_{i =} const и, значит, особые точки фазовой плоскости изображают состояние равновесия системы.

Кроме особых точек в фазовом пространстве встречаются и особые фазовые траектории. Они отделяют области с различным характером фазовых траекторий и называются сепаратрисами. Сепаратрисы могут быть замкнутыми и разомкнутыми. При этом замкнутые особые фазовые траектории называются предельными циклами.

Отметим также, что особая точка изображает устойчивое состояние равновесия, если все фазовые траектории сходятся к ней.

Соответственно, предельный цикл является устойчивым и изображет автоколебания, если все фазовые траектории как снаружи, так и изнутри стремятся к нему.

Если фазовые траектории расходятся от предельного цикла, то он является неустойчивым и имеет смысл сепаратрисы.

Если снаружи фазовые траектории наматываются на предельный цикл, а изнутри сматываются с него, то он является полуустойчивым, что соответствует граничным значениям параметров системы.

5 .11. Характерные виды фазовых портретов линейных и нелинейных автоколебательных систем.

1. Фазовый портрет НСАР второго порядка с мягким режимом самовозбуждения автоколебаний:

Х аракётерен для больших маятниковых часов и для НСАР с нелинейным усилителем.

2. Фазовый портрет НСАР с жёстким режимом самовозбуждения автоколебаний.

Характерен для НСАР с нелинейностью типа “насыщение” при К>К_{граничное} и для электронных генераторов.

3. Ф азовые портреты линейной системы второго порядка с характеристическим уравнением: T²S²+2TS+=0, -<<, ={1,-1}.

1.  =0, =1: Фазовый портрет – элипсы, вложенные друг в друга. Особая точка расположена в начале координат и называется “центром”.

2. 01, =1: Фазовые траектории имеют вид логарифмических спмралей, сходящихся к центру. Особая точка называется “устойчивым фокусом”

3. - 10, =1: Фазовые траектории имеют вид расходящихся логарифмических спиралей, сходящихся к центру. Особая точка находится в начале координат и называется “неустойчивый фокус”.

4. 1, =1: Все фазовые траектории стремятся в начало координат. Особая точка называется “устойчивый узел”.

5. -1, =1: Все фазовые траектории стремятся от начала координат. Особая точка называется “неустойчивый узел”.

6.  -любое, =-1: Фазовые траектории имеют вид гипербол кроме 1) и 2), которые разделяют области с различным характером фазовых траекторий и являются сепаратрисами. Особая точка расположена в начале координат и называется “седло”.

5.12. Методы построения фазовых траекторий.

1. Метод непосредственного решения уравнений фазовых траекторий.

2. Параметрический метод.

3. Метод изоклин.

Первый метод применяется тогда, когда уравнения фазовых траекторий достаточно просты. Рассмотрим этот метод на примере построения фазовых траекторий линейной системы второго порядка, уравнение которой:

Причём =0.

Обозначим: x=x₁ и dx₁/dt=x₂, тогда

(6.17) или (6.18)

Для решения диффузионного уравнения фазовых траекторий разделяем переменные и интегрируем обе части уравнения:

или (6.19)

г де x₁₀, x₂₀ – начальные условия, которые задаются произвольно. Полученное уравнение (6.19) описывает семейство фазовых траекторий, каждая из которых представляет собой эллипс:

Второй метод заключается в том, что при заданных НУ условиях решается система уравнений (6.17) и находится функции времени x₁(t) и x₂(t), которые описывают изменение фазовых координат. Затем, рассматривая время (t), как параметр, задают ему ряд численных значений и находят координаты соответствующих точек фазовой тректории (смотрите рисунок).

Третий метод – метод изоклин. Изоклина – это геометрической место точек фазовой плоскости, в каждой из которых, касательные к фазовым траекториям, паралельны друг к другу, то есть имеют одинаковый угловой коэфицент наклона “С”.

Но угловой коэффицент наклона касательной к фазовой траектории: это dx₂/dx₁. Поэтому если в (6.18) положить dx₂/dx₁=С=const, то получим уравнение семейства изоклин:

По этому уравнению можно построить поле изоклин, если задать С=0, то получим уравнение нулевой изоклины: x₁=0.

П ри С= 1:

С= -1:

С= ∞:

На изоклинах принято в произвольном маштабе и количестве наносить стрелки, указывающие, как расположение касательных к фазовым траекториям, так и направление движения изображающей точки.

Заметим, что для точно построения фазовых траекторий необходимо построить такое количество изоклин, чтобы углы наклона касательных у соседних изоклин отличались не более чем на 20.

И если поле изоклин построено, то для постраения любой фазовой траектории необходимо:

1. Из начальной точки, выбраной на одной из изоклин провести два луча, паралельных данной и соседней изоклин.

2. Провести биссектрису полученного угла до пересечения с соседней изоклиной и найти, тем самым, очередную искомую точку другой фазовой траектории и т.д.

5.13. Особенности фазовых портретов кусочно-линейных систем (КЛС).

КЛС – это нелинейная система, содержащая один или несколько безынерционных нелинейных элиментов, статические характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию.

КЛС может быть непрерывными, то есть с непрерывными характеристиками НЭ и разрывными, которые содержат хотя бы один релейный элемент.

Основные особенности фазовых портретов КЛС заключаются в следующем:

1. Многолистность фазового портрета, причём каждый лист соответствует работе НЭ на одном из прямолинейных участков его характеристики.

2. Непрерывность фазовых траекторий КЛС при переходе с одного листа на другой. Действительно, если бы произощёл разрыв, то dx_i/dt=∞. Но согласно уравнениям КЛС: dx_i/dt=f_i (x₁,x₂), причём f_i(…)≠∞.

3. Возможность применения для построения фазового портрета и диаграмм временных процессов КЛС метода припасовывания, согласно которому конечная точка предыдущего интервала процесса является начальной точкой следующего интервала, то есть:

г де t_m – момент перехода с i-го листа на (i+1)-й.

4. Излом фазовой траектории можно иметь место только в разрывных КЛС, для которых одна из функций f_i, входящая в дифференцированное уравнение фазовых траекторий:

может меняться скачком.

5. Г раницы между листами фазового портрета разрывных КЛС являются линиями переключения – это геометрическое место точек фазового пространства, в которых происходит переключение релейного элемента. Уравнения линии переключения можно найти приравниванием входной величины РЭ, как функции фазовых координат, тем её значениям, при которых происходит переключение РЭ.

6. У релейных КЛС с неоднозначной нелинейностью (реле с гистерезисом) имеется на фазовой плоскости зоны неоднородности, в которой два соседние листа накладываются друг на друга.

Н апример, в релейной следящей системе с ОС по скорости, в которой:

σ = -x₁-аx₂, при  = а:  ЛП1:

при  = -а:  ЛП2:

После переключения РЭ в точке 1, фазовая траектория при относительно малых значениях “” пойдёт по листу, а при относительно больших “” она пойдёт внутри зоны неоднозначности и будет иметь несколько самопересечений пока не придёт к определённому циклу.

7. В релейных КЛС с однозначной нелинейностью при переключении РЭ может возникнуть один

из двух режимов:

1. Режим притяжения, при котором изображающая точка переходит с одного листа на другой через линию переключения. Этот режим имеет место, если фазовая траектория соседнего листа отходит от точки переключения.

2. Режим отталкивания (скользящий режим), при котором изображающая точка не может перейти на соседний лист и движется (скользит) по линии переключения. При этом реле переключается с ∞ - большой частотой, а амплитуда колебаний ∞ - мала. Этот режим возникает тогда, когда фазовая траектория соседнего листа водходит к точке переключения. Отметим также, что скользящий режим можно рассматривать как предельный режим работы релейной КЛС с неоднозначной нелинейностью, когда её ширина “а”  0.

5.14 Системы с переменной структурой (СПС)

Это такие нелинейные системы, математическое описание которых изменяется при переходе изображающей точки через границы определенных областей фазового пространства. Цель создания СПС – улучшение качества процесса управления.

СПС строятся по следующим принципам:

1. Использование скользящего режима на конечном участке процесса управления. Пример: следящая система, что и в предыдущем параграфе, но с идеальным реле. Приравнивая нулю функцию переключения  = -(x₁+dx₂)=0 получим уравнение ЛП: x₁= -dx₂. (6.20)

Найдем уравнение фазовых траекторий:

(6.21)

Получаем уравнение 2-х семейств парабол, симметричных относительно оси Х₁ , так как u =  B.

Найдем точки касания ЛП с фазовыми траекториями каждого из семейств. Для этого достаточно приравнять dx₂/dx₁ (6.20) и (6.21).

Найденые точки А и С определяют на ЛП отрезок АС, который соответствует скользящему режиму системы.

У равнения движения системы в этом режиме определяется уравнением ЛП:

Таким образом, выходная величина системы изменяется по экспоненте, параметры которой не зависят от параметров ЛЧ системы.