5. Нелинейные САР.

5.1. Определение нелинейных САР и основные типы их нелинейностей.

Все реальные системы содержат нелинейности и поэтому являются нелинейными. Даже ранее рассмотренные нами линейные системы можно считать лишь приближенными математическими моделями реальных нелинейных систем.

Нелинейной называется такая САР, математическое описание которой содержит нелинейные дифференциальные или алгебраические уравнения.

Все нелинейные САР делят на:

• существенные и несущественные;

• статические и динамические.

Несущественная нелинейность может быть линеаризована известным образом с помощью ряда Тейлора.

Существенными являются нелинейности, которые не могут быть линеаризованы, например, по следующим причинам:

1. Достаточно большой диапазон изменения переменных состояния системы.

2. Нелинейность на рабочем участке имеет разрывной, релейный характер.

Статическая нелинейность – это нелинейная статическая характеристика и она проявляет себя как в статике, так и в динамике.

Д инамическая нелинейность – это нелинейная зависимость членов уравнения САР от производных ее переменных состояния по времени. Поэтому в статике, когда производные равны нулю, эта нелинейность себя не проявляет. Пример: a_o( )²+a₁y=b_ox, где (…)² - признак нелинейности. В статике: a₁y₁=b_ox_o.

Н а практике в САР, как правило, в основном встречаются статические нелинейности, которые могут быть подвергнуты кусочно-линейной аппроксимации.

Рассмотрим основные типы таких нелинейностей:

1. Зона нечувствительности:

2. Н асыщение (ограничение):

3. К оординатное запаздывание (люфт):

характерна для механических передач из-за зазоров (люфтов).

4. Упор:

муфта, которая расцепляется при упоре и входит в зацеп. Характерна для САР с пневматическими и гидравлическими усилителями, а также с электродвигателями рулевых устройств, имеющими концевые выключатели в цепи якоря.

5. Релейные характеристики:

1. Д вухпозиционные:

идеальное (реле) с гистерезисом.

2. Т рёхпозиционные:

без гистерезиса с гистерезисом

3. М ногопозиционное реле (характерна для АЦП)

5.2. Основные особенности нелинейных систем.

1. В нелинейных системах возможны автоколебания – это установившейся режим, периодического изменения всех переменных состояния системы с определенной частотой и амплитудой. Он обусловлен свойствами самой системы, а не внешним периодическим воздействием. Заметим, что в линейных системах автоколебания могут быть только тогда, когда САР находится на границе устойчивости. Для нелинейных систем автоколебания являются нормальным режимом работы.

2. К нелинейным системам не применим принцип суперпозиции. Это обстоятельство не позволяет, в частности разделить движение системы на сумму установившейся и переходной составляющих. Следовательно, усложняется исследование устойчивости НСАР, так как ее исследование невозможно свести к проверке затухания переходной составляющей.

3. Для НСАР понятие устойчивость вообще не имеет смысла. Имеет смысл понятие устойчивости лишь для отдельных процессов, таких как состояние равновесия, периодический режим автоколебаний, переходный процесс.

4. Характер процессов в НСАР зависит от значений внешних воздействий и начальных отклонений переменных.

• В связи с этим различают устойчивость в малом, большом и целом. Устойчивость в малом имеет место при ∞ - малых отклонениях переменных. Устойчивость в большом – это устойчивость при конечных отклонениях. Устойчивость в целом – это устойчивость при неограниченно больших отклонениях переменных.

• Кроме того, при малом значении внешнего ступенчатого воздействия в НСАР может быть монотонный или апериодический переходный процесс, а при большом – колебательный или даже расходящийся переходный процесс.

• При малой амплитуде внешнего гармонического воздействия НСАР может совершать автоколебания и вообще не реагирует на внешнее воздействие. При превышении же амплитуды внешнего гармонического воздействия определенного порогового значения происходит срыв автоколебаний, и устанавливаются вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия.

5. В НСАР не применима в общем случае правило коммутативности, т.е. перестановки 2-х рядом расположенных и последовательно включенных элементов, один из которых является линейным, а другой нелинейным. Исключение составляют лишь звено постоянного запаздывания и безынерционная нелинейность:

5.3. Метод гармонического баланса (гармонической линеаризации)

Этот метод основан на приближенной замене нелинейного элемента (НЭ) линейным и применяется для расчета параметров автоколебаний, вынужденных колебаний и колебательных переходных процессов.

Д ля нахождения указанных параметров структурную схему НСАР представляют в виде последовательного соединения НЭ и линейной части с эквивалентной передаточной функцией W_λ (S), т.е.

При этом входное воздействие полагается равным нулю.

или

Р ассматриваемый метод расчета параметров автоколебаний основан на гипотезе фильтра. Согласно этой гипотезе ЛЧ является фильтром низких частот, который гасит высшие гармоники и пропускает только основную, первую гармонику. И в этом случае можно считать, что на выходе ЛЧ и на входе НЭ имеют место практически синусоидальные колебания, т.е.

Это равенство отражает условие баланса (равенства) амплитуд на входе и выходе системы и баланса фаз (выходной сигнал сдвинул по фазе относительно входного на 180^o).

В ыходной же сигнал НЭ является периодическим, но несинусоидальным и его можно представить рядом Фурье

О днако согласно гипотезе фильтра ЛЧ пропускает только основную гармонику. Поэтому для симметричных нелинейностей можно записать, что или в комплексной форме:

С ледовательно, при выполнении гипотезы фильтра НЭ можно математически описать комплексным коэффициентом передачи. В частности,

г де q(A) и q’(A) – так называемые коэффициенты гармонической линеаризации, которые имеются в справочной литературе для всех типовых нелинейностей, причем для однозначных нелинейностей q’(A)0,

а и

Если теперь для представленной на рисунке структурной схемы НСАР записать позвенно все ее уравнения:

и решить их совместно, то можно получить

основное уравнение гармонического баланса:

[1+W_л(j)W_нэ(А)] =0, где 0, следовательно, 1+W_ (j)W_нэ(A)=0. (6.1)

При аналитическом решении этого уравнения следует учесть, что оно комплексное, т.к. W_(j)=U_()+jV_() и W_нэ(A)=q(A)+jq’(A). Следовательно, это уравнение может быть заменено системой 2-х уравнений, которые получаются путем приравнивания к нулю его вещественной и мнимой частей, т.е.

Эта система содержит два неизвестных А и ω₀ и может быть решена как аналитическим, так и численным методом.

Заметим также, что если W_λ (j ω) имеет вещественный числитель, то уравнение (6.1) целесообразно преобразовать к виду:

1/W_(j)+W_нэ(А)=0. (6.2)

5.4. Графоаналитический метод расчета параметров автоколебаний НСАР (метод Л. С. Гольдфарба)

Л.С. Гольдфарб предложил графоаналитический способ решения уравнения (6.1), которое можно записать в следующем виде:

где Z нэ (А) – обратный, комплексный коэффициент передачи, гармонически линеаризованного НЭ.

Если теперь построить кривые W_λ (j ω) и Z_нэ (А) в одной и той же системе координат, то точка пересечения этих кривых соответствует решению уравнения (6.3) и определяет наличие в НСАР автоколебаний. Причем если точка на кривой Z нэ (А), лежащая за точкой пересечения и соответствующая увеличенной амплитуде А, не охватывается кривой АФХ ЛЧ системы, то автоколебания устойчивы (точка М₂ на кривой - I), если же она охватывается указанной кривой, то автоколебания неустойчивы (точка М₁ на кривой - I).

Если кривые вообще не пересекаются, то решения уравнения (6.3) не существует и автоколебания невозможны (кривая - III). Если же кривые имеют точку касания, то параметры системы в этой точке соответствуют граничному случаю (кривая - II).

В случае же устойчивых автоколебаний (точка М₂), амплитуда автоколебаний А определяется из кривой НЭ, а частота автоколебаний ω₀ – из АФХ ЛЧ системы. Отметим так же, что устойчивость автоколебаний в любой точке пересечения кривых W_λ (j ω) и Z_нэ(А) можно проверить и аналитически по выполнению неравенства:

где Х и У – вещественная и мнимая части уравнения (6.1).

5.5. Расчёт вынужденных гармонических колебаний в нсар

Этот расчёт производится обычно приближенно методом гармоничной линеаризации.

Пусть входной сигнал системы g(t)=g_msint тогда, например, x(t)=Asin(t+), где А – амплитуда, а  - начальная фаза колебаний являются неизвестными.

Запишем комплексное уравнение связи искомой величины x (t) с входной величиной g (t):

где

Или после преобразований:

Обозначим через  (A) левую часть равенства и попытаемся решить его графически. При этом возможны два случая:

В первом случае имеется одно и только одно решение, определяенмое точкой пересечения графиков. Причём, чем больше q_m, тем больше А.

Во втором случае может быть несколько вариантов решения:

1. q_m1<q_{m порог.} Точек пересечения графиков, а значит и решение не существует. В этом случае НСАР находится в режиме автоколебаний и на внешнее воздействие не реагирует.

2. q_m1=q_{m порог.} Имеется одно решение, соответствующее точке касания графиков. НСАР находится на границе срыва автоколебаний и возникновения вынужденных колебаний.

3. q_m1>q_{m порог.} Точек пересечения графиков может быть: В и С. При этом устойчивые вынужденные колебания будут в той точке, для которой увеличение q_m ведёт к увеличению А.

Заметим, что явление срыва автоколебаний и установления вынужденных колебаний из-за внешнего гармонического воздействия называют захватом колебаний. Это одна из особенностей НСАР.

5.6. Расчёт медленноменяющихся процесов в автоколебательных системах. Вибрационная линеаризация.

Рассмотрим ту же систему, что и в предыдущем параграфе, но будем пологать, что q (t) является медленно меняющиеся функцией. Это означает, что за один период автоколебаний системы q (t) остаётся практически постоянным. В этом случае все переменные системы можно представить в виде суммы двух состовляющих:

где x_o (t) – медленно меняющаяся состовляющая, обусловленная внешним водействием g (t), а - быстроменяющаяся состовляющая, обусловленная несиметричными автоколебаниями с амплитудой А и частотой , которые неизвестны.

С труктурную схему НСАР для рассматриваемого случая можно представить в виде двух взаимосвязанных схем:

К аждая из двух структурных схем имеет свою математическую модель для НЭ и общую для ЛЧ:

(6.4)

В ыходной сигнал НЭ для медленноменяющейся состовляющей U₀ можно определить по известной формуле для постоянной состовляющей ряда Фурье:

где – статическая характеристика НЭ.

Заметим, что по формуле (6.5) найдены и табулированы в справочной литературе соответствующее функции для всех типовых нелинейностей.

На основании известных выражений (6.4) и (6.5) можно записать уравнение для медленноменяющихся процессов НСАР:

и решая их совместно можно получить уравнение для искомого медленноменяющегося процесса x₀(t), то есть D(p)x_o+K(p)U_o (x_o,A)=D(p)g. (6.6)

Это уравнение содержит нелинейность U₀(x₀,A), поэтому будем искать его решение на основе её линеаризации.

Для этого запишем уравнение быстро меняющегося процесса, аналогичное уравнению симетричных автоколебаний: 1+W_нэ(A,x_o)W_(j)=0 (6.7), где

причём

Т ак как коэфиценты гармонично линеаризации q’ и q найдены и табулированы в справочной литературе для всех типовых нелинейностей, то комплексное уравнение (6.7) можно решить разбивкой его на вещественную и мнимую части. В результате можно найти зависимости параметров несимметричных автоколебаний от x₀:

(6.8)

Если теперь (6.8) подставить в (6.5), то получим зависимость:

U_o(x_o,A)=U_o(x_o,A(x_o))=U_o(x_o). (6.9)

Функция (6.9) оказывается гладкой функцией даже если НЭ – релейны. Соответствующее же физическое явление получило название вибрационного сглаживания нелинейности. Это важное свойство, превращающее релейный элемент в неприрывный, может быть реализовано не только в режиме автоколебаний, но и за счёт подключения на вход НЭ генератора переодических или случайных колебаний.

Н апример, для идеального реле вибрационное сглаживание даёт возможность произвести линеаризацию зависимости u₀(x₀) методом касательной проведённой в начале координат:

где A_c - амплитуда симметричных автоколебаний, при x₀ = 0.

Рассмотреная линеаризация называется вибрационной.

Если теперь подставить (6.10) в уравнение (6.6), то его можно решить относительно x₀ и получить медленноменяющийся процесс.