19. Линейная зависимость системы векторов. Критерий линейной зависимости.
Мы рассматриваем столбцы или строки одинаковой длины.
,
,
…,
+
+…+
- такое выражение называется линейной
комбинацией системы.
Система векторов наз-ся линейнозависимой, если существует такая её линейная комбинация, которая равна нулевому вектору, причем не все коэфф-ты этой комбинации равны нулю.
т
.е.
+
+…+
=
=
0
Теорема
Критерий линейной зависимости.
Система векторов линейнозависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие.
Док-во(для 4ех векторов)
1
)Пусть
,
,
линейнозависимые
+
+
+
=
0
=-
-
-
( при
=0)
2)Пусть = + +
+ + +(-1) =
Св-ва линейн.зависимой системы:
Если система содержит нулевой вектрой.то она линейнозависима.
,
,
,…,
1* +0* +0* +…+0* =
Если подсистема системы векторов является лин.зависимой, то и вся система явл-ся лин.зависимой.
Док-во.
Переименуем вектора так, что первые к векторов явл-ся лин.зависимыми.
,
,…,
,
,…,
лин. завис.
+…+ =0 = 0
+
+…+
+0*
+…+0*
=0
=
0
20. Свойства линейно зависимых систем векторов.
определение:
система векторов
называется линейно зависимой, если
можно подобрать такие числа
,
не все равные нулю, что
,
где
=(0,0,...,0).
1)
Система векторов линейно зависима тогда
и только тогда, когда систем уравнений
имеет
только нулевое решение.
Вектор В разлагается по линейно независимой системе тогда и только тогда, когда , В- линейно зависимая система векторов.
2) Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.
Если
каждый вектор системы
разлагается
по векторам
и n>m,
то
-
линейно зависимая система векторов.
3) Любая система векторов линейного пространства, содержащая линейно зависимую подсистему векторов, линейно зависима.
4) Система векторов линейного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы линейно выражается через остальные векторы системы (представлен в виде разложения по векторам системы).
21. Линейная независимость системы векторов.
определение:
система векторов
называется
линейно независимой, если из каждого
соотношения вида
следует
22. Свойства линейно независимых систем векторов.
1) Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейного пространства линейно независима.
2) система векторов линейного пространства линейно независима любая ее подсистемы векторов.
3) Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейного пространства, линейно независима.
23. Зависимость или независимость системы строк квадратной матрицы, ее связь с определителем этой матрицы.
Определение: Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю.
Определение: Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.
Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). При транспонировании определитель матрицы не изменяется.