16.Ступенчатые матрицы и ступенчатые системы линейных уравнений. Теорема о том, что каждую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Матрица называется ступенчатой, если в каждой строке, начиная со второй, первый ненулевой элемент стоит дальше, чем стоял в предыдущей строке.

А=

Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов.

Теорема.

Каждую матрицу элементарными преобразованиями (перестановкой строк и добавлением к строке другой строки, умножен.на число) можно привести к ступенчатому виду.

Возьмем произвольную матрицу, будем считать, что первый столбец ненулевой.

Перестановкой строк добьемся того, чтобы в левом верхнем углу стоял ненулевой элемент.

В матрице В находим ненулевой столбец и перестановкой строк добиваемся того, чтобы ненулевой элемент стоял в первой строке. Затем действуем с матрицей как действовали с исходной матрицей и т.д.

17.Ступенчатый вид и совместность систем линейных уравнений.

Теорема1.

Система совместна тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде расширенной матрицы последняя ненулевая строка содержит отличные от нуля элементы не на последнем месте.

( 0 0 …0 b = 0)

Соответственно уравнение имеет вид:

0 *х₁+…+0*х_n = b = 0

х ₁+2х₂-х₃+х₄=1

х₁-х₂+х₃-х₄=2

2х₁+4х₂-2х₃+2х₄=3

Определение.

Столбцы ступенчатой матрицы, отвечающие первым ненулевым элементам строк наз-сяведущими, а неизвестные, отвечающие этим столбцам наз-ся главными(базисными).

Остальные неизвестные наз-ся свободными.(их может и не быть)

Теорема2.

Совместная СЛУ является определенной тогда и только тогда, когда все неизвестные являются главными.

Док-во:

Действительно, в улучшенном ступенчатом виде получим тогда единичную матрицу и столбец свободных членов.

х₁=b₁ х₂=b₂ …. x_n=b_n

Если же есть свободные неизвестные, то как только они примут конкретные значения, сразу определяться значения главных неизвестных.

(но свободные неизвестные могут принимать какие угодно значения, а значит,если они имеются, то множество решений обязано быть даже бесконечным)

Теорема3.

Если в ступенчатом виде не все неизвестные главные (т.е. имеются свободные), то в этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Пример.

х ₁+2х₂ =2

х₁+х₂-х₃+х₄=4

2х₁+2х₂-2х₃+х₄=7

(Х₃ может быть каким угодно)

х ₁=2-2х₃ х₃=t

х₂=1+3х₃

х₄=1

х ₁=2-2 t ₃ x= t*

х₂=1+3 t ₃

х₄=1

18. Теорема о том, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения однородной системы.

Теорема

Решение однородной, неоднородной системы обладает след-ми св-ми:

1). Разность решений неоднородной системы является решением однородной.

2).Сумма решений неоднородной и однородной систем является решением неоднородной.

Док-во.

АХ=В , АУ=

А(Х+У)=АХ+АУ=В+ =В

А X=В, АZ=B А(Х-Z)=АХ-АZ=B-B=

Следствие

Общий вид решений неоднородной системы может быть описан след.образом, в виде равенства двух множеств.

Хон=Хоо+Хчн

он-общее решение неоднор.системы,оо- общее решение однородн.системы,чн- частное решение неоднородн.системы(выбрано заранее)

1 )Х правой части Х левой части (уже доказано)

2 )Х левой части АХ=В, АХчн=В Х-Хчн=У(рещение системы 2)

Х=У+Хчн

Замечание

Тот вид,которго мы добивались для решения неоднородной системы соответствует этому св-ву.

Пример

Пусть главные неизвестные уже выражены через свободные.

Х1, Х3 – главные

Х2=S, Х4=T, Х5=U- свободные

Х1=2S-3T+U-7

X2=S

X3=T-2U+5

X4=T

X5=U

X =S +T +U +

Xoo Xчн