11. Невырожденные матрицы. Критерий существования обратной матрицы.
Невырожденной матрицей называется квадратная матрица n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.
Теорема
(единственности
существования обратной матрицы): Если
у матрицы
существует
обратная матрица 
,
то она единственна.
Доказательство.
Пусть
существует матрица
,
для которой
и
матрица
,
для которой
.
Тогда
,
то есть
.
Умножим обе части равенства на матрицу
,
получим
,
где
и
.
Значит,
,
что и требовалось доказать.
12. Матричные уравнения, их решение с помощью обратной матрицы.
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например,
чтобы найти матрицу
из
уравнения
,
необходимо умножить это уравнение на
слева.
Тогда:
Следовательно,
чтобы найти решение уравнения
,
нужно найти обратную матрицу
и умножить ее на матрицу
,
стоящие в правой части уравнения.
Квадратные системы линейных уравнений. Правило Крамера.
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида
|
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
С определителем матрицы системы δ, отличным от нуля, решение записывается в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
Пример
Система линейных уравнений:
Определители:
Решение:
Пример:
Определители:
Системы линейных уравнений в общем случае, их классификация.
Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Системы уравнений бывают:
Равносильными называются две системы уравнений, если они имеют одно и тоже множество решений.
Совместной называется система уравнений, если она имеет хотя бы одно решение.
Несовместной называется система уравнений, если она не имеет ни одного решения.
Определенной называется система уравнений, если она имеет единственное решение.
Неопределенной называется система уравнений, если она имеет бесконечное множество решений.
15.Равносильные системы линейных уравнений. Равносильность элементарных преобразований.
Две системы называются равносильными, если обладают одним и тем же множеством решений.
Элементарными наз-ся следующие преобразования:
Поменять уравнения местами
К левой части одного уравнения прибавить левую часть другого уравнения, умноженную на число.
К правой части одного уравнения прибавить правую часть уравнения, умноженную на число.
Замечание.
Вместо преобразования СУ проще преобразовывать их расширенные матрицы. (Каждый раз можно легко перейти от системы к расширенной матрице и наоборот).
(
А
В) А- матрица системы, В – столбец
свободн.членов
Теорема.
При элементарных преобразованиях новая система равносильна исходной.
Действительно, каждое элементарное преобразование обратимо т.е. с помощью соответствующего элементарного преобразования можно вернуться к исходной системе, а значит, если Х является решением исходной системы, то Х является решением преобразованной системы.(и обратно)
Таким образом, вместо данной СЛУ естественно рассматривать равносильную более простого вида.
Наиболее просто решаются системы улучшенного ступенчатого вида.