8. Получение обратной матрицы с помощью присоединенной.
Предположим, что матрица A - неособенная и рассмотрим метод нахождения обратной матрицы, основанный на элементарных операциях над строками. В данном контексте под элементарными преобразованиями понимается:
Умножение строки на любое ненулевое число.
Прибавление к одной строке любой другой, предварительно умноженной на любое число.
Алгоритм метода чрезвычайно прост по своей сути.
Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы E:
Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица (A | E) преобразуется к виду (E | B). С формальной точки зрения такие преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц (матрицы перестановки, матрицы масштабирования, неунитарной матрицы):
TA = E.
Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы A:
T = A-1.
Тогда TE = A-1 и, следовательно,
ПРИМЕР:
Методом элементарных преобразований
найти обратную матрицу для матрицы: А=
.
Решение.
Приписываем к исходной матрице справа
единичную матрицу того же порядка:
.
С помощью элементарных
преобразований
столбцов приведем левую “половину” к
единичной, совершая одновременно точно
такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый
и второй столбцы:
~
.
К третьему столбцу прибавим первый, а
ко второму - первый, умноженный на -2:
.
Из первого столбца вычтем удвоенный
второй, а из третьего - умноженный на 6
второй;
.
Прибавим третий столбец к первому и
второму:
.
Умножим последний столбец на -1:
.
Полученная справа от вертикальной черты
квадратная матрица является обратной
к данной матрице А. Итак,
.
9. Элементарные матрицы и элементарные преобразования
Определение элементарных матриц: а) элементарное преобразование строк (перестановка); б) прибавление к строке другой строки, умножение на число; в) умножение на число не равно нулю.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:
перестановка любых двух строк матрицы;
умножение любой строки на произвольное, отличное от нуля, число;
сложение любой строки с другой строкой , умноженной на произвольное число;
транспонирование матрицы.
Матрица AT называется транспонированной по отношению к матрице A= {aij}, если AT= {aji}:
Иными словами, матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице A и обозначается AT.
Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
10. Получение обратной матрицы с помощью преобразования
Задача:
Дана
матрица
.
Требуется вычислить обратную к ней
матрицу
.
Алгоритм
решения:
1) Вычислить определитель
матрицы
.
2)
Составить матрицу алгебраических
дополнений к элементам матрицы
.
3)
Транспонировать матрицу алгебраических
дополнений.
4)
Каждый элемент матрицы разделить на
.
Полученная матрица и будет обратной к
исходной.
5)
Проверка.
.
Пример:
Задача:
Дана
матрица
.
Требуется
вычислить обратную к ней матрицу
.
Решение:
1)
Найдем определитель этой матрицы.
2)
Составим матрицу алгебраических
дополнений к элементам матрицы
.
Найдем
алгебраическое дополнение к элементу
.
Для этого нужно вычислить минор,
получаемый вычеркиванием первой строки
и первого столбца, и умножить этот минор
на минус единицу в степени суммы
индексов.
Аналогично
найдем алгебраические дополнения к
остальным элементам матрицы.
Составим
матрицу алгебраических дополнений
3)
Транспонируем матрицу алгебраических
дополнений.
4)
Каждый элемент матрицы разделим на
.
Полученная матрица и будет обратной к
исходной.
5)
Проверка.
Ответ:
