1. Определитель квадратной матрицы в случае и . Определение в общем случае.

Для матрицы детерминант определяется как

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a₁₁a₂₂a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

,    где  — дополнительный минор к элементу a_1j. Эта формула называется разложением по строке.

2. Свойства определителя квадратной матрицы. Вычисление определителя приведением к треугольному виду

Свойства определителей.

1) При транспортировании матрицы значение определителя не меняется, т.е. .

Замечание: это свойство означает, что всякое свойство определителя, связанное со строками, справедливо и для столбцов.

2)    Если в определителе две строки (два столбца) пропорциональны, то он равен нулю. В частности, определитель равен нулю, если две строки (два столбца) совпадают или одна строка (столбец) нулевая.

3)    Если поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит свой знак на обратный.

4)    Если строку (столбец) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

5)    Если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число, то определитель не изменится.

6) Определитель, в котором строка представлена как сумма строк, равен сумме соответствующих определителей.

7) Определитель не меняется, если к одной строке прибавить другую, умноженную на число.

8) При элементарных преобразованиях матрицы, определитель отличный от 0 останется отличным от 0, а определитель, равный 0, останется равным 0.

Доказательство: поскольку элементарные преобразования обратимы: а) можно строки обратно поменять местами; б) можно прибавить ту же строку, умноженную на противоположное число; в) можно умножить на обратное число.

Утверждение достаточно доказать только относительно определителя, отличного от 0.

9) Определитель произведения матриц равен произведению определителей. |A_nxn*B_nxn|=|A|*|B|

Вычисление определителя приведением к треугольному виду.

Треугольная матрица — матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Дана матрица размером 3х3;

1.1 Для простоты решения (что бы не было дробей) необходимо, что бы первый элемент первой строки был равен единице, поэтому ко второй строке добавляем первую строку и меняем их местами;

1.2 Меняем местами первую строку со второй;

2. Следующим шагом нужно обнулить первые элементы второй и третей строки (-4 и -9). Для этого из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на первый элемент второй строки, т.е. на -4, тем самым обнулится первый элемент второй строки. Тоже самое проделываем с третей строкой, только умножаем первую строку на первый элемент третей строки (-9)

*Если обнуляемый элемент является отрицательным, тогда проще, к этой строке добавить первую строку умноженную на этот же элемент противоположного знака, т.е. (2) - (-4) × (1) = (2) + 4 × (1)

3. Для того что бы обнулить второй элемент третей строки (-64) и превести матрицу к треугольному виду, желательно второй элемент второй строки (-25) привести к 1-е, но это долго и сложно, поэтому с ним ни чего не делаем.

4. Далее обнуляем второй элемент третей строки, вычитая из неё вторую строку, умноженную на 64/25, что приведёт матрицу к треугольному виду.

2. Минор элемента квадратной матрицы. Алгебраическое дополнение элемента. Разложение определителя по строке или столбцу.

Минор матрицы ― определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор . Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

Получаем

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Решение:

Разложение определителя

     По элементам i-й строки:

     По элементам j-го столбца:

     Например, при n = 4 разложение по первой строке

2. Линейные действия над матрицами, восемь свойств этих действий.

   Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij  b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Умножить матрицу А на матрицу В означает последовательно умножить строки А на столбцы В и получить новую матрицу.

Умножение i-ой строки на j-ый столбец дает элемент, который стоит на i-ой строке и на j-том столбце.

Свойства:

1. A+B=B+A

2. (A+B)+C=A+(B+C)

3. существует нулевая матрица (тех же размеров, что и ): ;

4. существует матрица , противоположная матрице

5. ;

6. ;

7. ;

8. 

Умножение матриц, свойства умножения матриц. Транспонированная матрица.

Произведение матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

П усть даны матрица А размера п х т и матрица В размера т х р.

Произведением двух матриц А и В, заданных в определённом порядке (А - первая, В - вторая), называется матрица С размера п х р, элементы с_ij которой определяются по следующему правилу: элемент i-й строки и j-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (рис.43), т.е.

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_imb_mj =

i =1, 2, …, n; j= 1,2, …,p.

Произведение матриц А и В, взятых в указанном порядке, обозначается А·В или АВ.

П

Рис.43

роизведением двух прямоугольных матриц является снова прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов – числу столбцов второй матрицы. Из определения умножения матриц видно, что если возможно умножение матрицы А на матрицу В, то отсюда не следует возможность умножения матрицы В на матрицу А. Умножение матриц не обладает свойством перестановочности, поэтому если оба произведения АВ и ВА имеют смысл, то АВ может не совпадать с ВА. В том случае, когда оба произведения АВ и ВА определены и выполняется равенство АВ=ВА, матрицы А и В называют перестановочными.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

Свойство 1. А(ВС)=(АВ)С

Свойство 2. ((АВ)=( А)В=А(В))

Свойство 3. С (А+В)=СА+СВ

Свойство 4. (А+В)С=АС+ВС

Свойство 5. (АВ)^Т=В^ТА^Т , где А,В,С – матрицы, а  – число, а А^Т это матрица, полученная из матрицы А в результате транспонирования.

Транспонировать матрицу означает поменять местами строки и столбцы.

6. Теорема о чужой строке. Присоединенная матрица, ее свойства.

7. Единичная матрица. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы.

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Единичная матрица размера обычно обозначается E_n и имеет вид:

Так же используется и другое обозначение: I_n.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

С помощью матрицы алгебраических дополнений

C^T — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

   и

Следовательно, .