Лекции по эконометрике
Эконометрика – это наука, объединяющая различные статистические методы, используемые для наблюдения за ходом развития экономики, ее анализа и прогнозов, а также для выявления взаимосвязей между экономическими явлениями.
Задачи:
Изучить экономическое явление
Прогнозирование явлений
Взаимосвязи явлений
Раздел I Анализ невременных данных
Мы будем работать с данными, которые не являются временными, т.е. их можно переставлять местами, не меняя смысла
Случайная величина (с.в.) x – это числовая функция, заданная на некотором вероятностном пространстве.
Функция распределения
с.в. x– это числовая функция
числового аргумента, заданная равенством:
F(x)=P(x
C)
Характеристики случайной величины
Математическое ожидание с.В. X.
Обозначается E(x). Показывает среднее ожидаемое значение.
Если x
– дискретная с.в., то
Если x
– непрерывная с.в., то
,
где f(x) –
плотность распределения.
Т.к. при работе с
данными мы не знаем вероятности, то
математическое ожидание считается как
,
где n – количество
наблюдений
Свойства математического ожидания:
,
где x и y –
с.в.; a и b =
const
Если с.в. y
с.в. x, то
Если
,
то
Дисперсия
Обозначается
D[x]=V(x).
Дисперсия – это среднее отклонение от
среднего, т.е. на сколько в среднем
большинство значений отклонится от
математического ожидания, т.е. большинство
значений будет лежать в интервале:
Свойства дисперсии:
Ковариация
Обозначается Cov(x,y). Показывает однонаправленность двух случайных величин, т.е. ковариация – это мера линейной зависимости с.в.
Свойства ковариации:
Т.к. ковариация
меняется от
до
,
то использовать ее как меру линейной
связи, неудобно, поэтому вводят понятие
корреляции.
Корреляция.
Обозначается
Corr(x,y).
Показывает силу линейной связи в
интервале
Свойства корреляции:
1)
2) Если
,
то между x и y
связи нет.
3) Если
,
то связь сильная положительная, т.е.
рост x вызывает рост y
и наоборот.
Замечание: если , т.е. линейной связи нет, то это не значит, что нет нелинейной связи.
Ложная корреляция.
При использовании
следует
помнить, что он показывает наличие
только линейной связи. Ложная корреляция
– в ряде случаев неправильно выбраны
случайные величины, между которыми
ищется корреляционная связь.
Пример: Если искать связь между длиной волос и ростом, то получится, что чем выше человек, тем короче у него волосы. Ошибка в том, что следует рассматривать эту зависимость отдельно по мужчинам и отдельно по женщинам.
Медиана
Медиана – это альтернатива определения среднего значения. Она считается по упорядоченному по возрастанию ряду из наблюдений (вариационный ряд). Показывает среднее из большинства. Обозначается med.
Пример: Имеются 10 человек. 9 человек получают 100$, 1 – 10000$. Найти средний доход человека.
Средний доход
человека
Мы видим, что среднее значение малоэффективно и не показывает реальной ситуации.
Используем медиану.
1)
2) т.к. Т=10, то
Медиана показала реальное положение вещей.
Медиана используется, когда есть несколько сильных выбросов, т.е. несколько резко выделяющихся от других значений.
Мода.
Мода – это число, делящее выборку пополам, т.е. 50% значений лежит выше нее, а 50% - ниже. Обозначается mod.
Пример:
Медиана показывает насколько справедливо среднее.
Оценки
Введем обозначения:
истинное
значение параметра
оценка
параметра
Т.к. истинное значение параметра неизвестно, то мы его находим (оцениваем) по некоторой выборке объема Т.
то число, которое скорее всего примет истинное значение.
Свойства оценок:
Мы стараемся найти и подобрать выборку таким образом, чтобы по ней получить оценки, которые:
состоятельны, т.е. при
оценка
стремится к истинному значению, т.е.,
чем больше выборка, тем точнее оценка
несмещенность, т.е. математическое ожидание оценки – это истинное значение, т.е. в среднем мы получаем истинное значение
эффективность, т.е. дисперсия оценки – минимальна
Замечание: дисперсия напрямую связана с точностью оценивания. Чем выше дисперсия, тем больше варьируемость признака, тем менее точный результат мы получаем.