2-й семестр / Лекция 07

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Определенные интегралы имеют многочисленные приложения в самых разнообразных задачах. Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых геометрических приложений.

На предыдущей лекции уже были рассмотрены некоторые геометрические приложения определенного интеграла. Мы напомним эти приложения и рассмотрим новые.

1.Площадь плоской области

a)Вычисление площади в прямоугольных координатах

Найти площадь плоской области, ограниченной двумя непрерывными линиями – графиками функций ( ) и ( ) (см. рис.).

Такая площадь находится по следующей формуле:

= ∫ [ ( )− ( )] ,

где – площадь криволинейной плоской области, ограниченной графиками функций у = ( ), у = ( ) таких, что ( ) ≥ ( ) на [a, b], и по бокам

- отрезками прямых = и = .

б) Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением ( ),, причем функция ( ) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ , ]. Плоскую фигуру, ограниченную дугой AB этой кривой и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и ( , ),

называют криволинейным сектором (см. рис.).

Тогда площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:

= ∫   ( )  .

Обоснование этой формулы было приведено в предыдущей лекции.

2. Нахождение объема тела, используя площади его поперечных сечений

Пусть имеется тело объема V. Пусть дана площадь любого поперечного сечения тела в виде непрерывной функции Q = Q(x).

Тогда объем данного тела может быть найден по формуле:

= ∫ ( ) ,

где ( ) – площадь поперечного сечения тела в точке .

Обоснование этой формулы было приведено в предыдущей лекции.

Объем тела вращения

Пусть функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a,b]. Найдем объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции,

По теореме Пифагора имеем ( li )2 (xi 1 xi )2 (yi 1 yi )2 . Но в силу теоремы Лагранжа получим

Рассмотрим гладкую кривую L, заданную параметрически: x=x(t); y=y(t); z=z(t), где t [α,β], значению α отвечает точка А – начало кривой, а значению β – точка B – конец кривой. Разобьем кривую на «n» частей точками A=M0 , M1,..., Mn=B. Точки Мi соединим ломаной, которая будет вписана в кривую L.

Вычислим периметр ломаной M0 , M1,..., Mn. Если каждой точке деления Mi отвечает значение параметра ti, то длина звеньев ломаной определится из теоремы Пифагора:

Таким образом, получаем:

Длина кривой, заданной параметрически, находится по формуле:

Пример. Вычислить длину дуги астроиды:

x = acos3t, y = asin3t, t [0,2π]

Применяя формулу, находим:

в) Плоская кривая задана в полярных координатах

Предположим, что кривая лежит в плоскости XOY и задана в параметрическом виде x=x(t); y=y(t); где t [α,β]. Тогда полученная формула для ее длины принимает вид:

Перейдем в этой формуле к полярным координатам по формулам:

x rcos ,

y rsin ,

и найдем dx rcos d (r cos rsin )d , dy rsin d (r sin rcos )d .

Подставив найденные дифференциалы в формулу длины кривой, получим:

Длина дуги в полярных координатах находится по формуле:

L = ∫ ( )+ ′ ( )

4. Площадь поверхности тела вращения

Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна Si. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Тогда li 1 f 2( i) xi и, следовательно,

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

n

Sn f (xi 1) f (xi) 1 f 2( i) xi

i 1

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Получаем формулу для вычисления площади поверхности тела вращения

Дополнение.