2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 08 Пастухова
.pdfПрактическое занятие № 8
Линейные операторы в пространстве геометрических векторов и в пространстве многочленов
Задание:
1.Повторить теоретический материал по теме занятия.
2.Разобрать решение задач 1- 4.
3.Выполнить домашнее задание №1 - №6.
(№4*, №5** и №6** из ДЗ должны уметь решать студенты, претендующие на оценку «хорошо» и «отлично»).
4. Решить задачи 2.9(пункты a), b), c) и d)), 2.10 и 2.11* из типового расчета (свой вариант).
Необходимый теоретический материал:
Определение. Линейный оператор ̂−1называется обратным к линейному оператору ̂, действующему в пространстве , если ̂ ̂−1 = ̂−1 ̂ = ̂ , где ̂- тождественный оператор ( ̂ = ).
Определение.Оператор, имеющий обратный, называется обратимым.
Если линейный оператор ̂−1 существует, то его матрицей является матрица
−1.
Теорема 1(критерий обратимости линейного оператора).
Линейный оператор ̂, действующий в линейном пространстве , обратим тогда и только тогда, когда его матрица в каком-либо базисе невырожденная, то есть
≠ .
Определение. Образом |
̂ |
|
|
̂ |
|
Im линейного оператора называется множество всех |
|||||
|
|
|
̂ |
̂ |
̂ |
векторов , представимых в виде: = : = { : : = }. |
|||||
|
̂ |
|
|
̂ |
|
Определение. Ядром Ker линейного оператора называется множество всех |
|||||
|
̂ |
|
̂ |
̂ |
|
векторов , для которых = 0: = { : = 0}
|
̂ |
̂ |
Пусть - матрица линейного оператора в некотором базисе Ker являетcя |
||
̂ |
|
|
решением однородной системы = 0: |
|
|
11
( …
1
… 1 |
1 |
0 |
…… ) ∙ ( … ) = ( )
…0
Ранг матрицы линейного оператора не меняется при замене базиса, а значит не зависит от выбора базиса.
Определение. Рангом линейного оператора называется ранг его матрицы в произвольном базисе.
Определение. Рангом Rang ̂ линейного оператора ̂ называется размерность образа оператора: Rang ̂ = dim(Im ̂).
Определение. Дефектом Defect ̂ линейного оператора ̂ называется размерность ядра оператора: Defect ̂ = dim Ker ̂.
Теорема 2 (критерий обратимости линейного оператора в терминах его
̂ |
|
|
ядра).Линейный оператор , действующий в линейном пространстве , обратим |
||
тогда и только тогда, когда его ядро тривиально: |
̂ |
|
Ker = {0}. |
||
Теорема 3 (критерий обратимости линейного оператора в терминах его образа).Линейный оператор ̂, действующий в линейном пространстве , обратим тогда и только тогда, когда его образ совпадает со всем пространством
: Im ̂ = .
Разбор задач:
Задача 1 (задача 2.9 типового расчета).
Пусть линейный оператор ̂–отражение (симметрия) относительно оси в
пространстве 3.
a) Найти матрицу линейного оператора ̂ в базисе { , , }. b) Найти образ вектора = (−3; 4; −2).
c) Найти ядро и образ оператора ̂.
d) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.
A
Решение:
a) Подействуем линейным оператором на базисные векторы { , , }.
̂ = = (1,0,0),̂ = − = (0, −1,0),
̂ = − = (0,0, −1).
̂ |
|
|
Запишем матрицу оператора , выписывая координаты образов базисных |
||
векторов в столбцы: |
|
|
1 |
0 |
0 |
А = (0 |
−1 |
0 ). |
0 |
0 |
−1 |
b) Найдите образ вектора = (−3; 4; −2):
|
1 |
0 |
0 |
−3 |
−3 |
|
|
̂ |
−1 |
|
|
|
̂ |
= (0 |
0 ) ( 4 ) = (−4) = = (−3; −4; 2). |
|||||
|
0 |
0 |
−1 |
−2 |
2 |
|
с) Из геометрических соображений видно, что под действиемоператора̂ в A 0
переходит только нулевой вектор, следовательно, ̂ ̂ ,
Ker = {0} Im = 3
Defect ̂ = 0, Rang ̂ = 3.
d) По всем трем критериям линейный оператор обратим:
|
|
̂ |
̂ |
|
1) det ≠ 0; 2) Im = 3; 3) Ker = {0}. |
||||
Достаточно применить только один критерий. |
||||
|
1 |
0 |
0 |
|
Так как А−1 = (0 |
−1 |
0 ) = , то обратный оператор совпадает с исходным. |
||
̂−1 |
0 |
0 |
−1 |
|
- отражение относительно оси O . |
||||
|
||||
Задача 2. Пусть линейный оператор ̂– проекция на плоскость , а линейный оператор ̂–векторное умножение на вектор = − в
пространстве 3. Найти матрицы операторов ̂, ̂и ̂ = ̂ ̂ в базисе { , , }. Выяснить обратим ли оператор ̂? Если да, то описать его действие.
Решение: |
|
|
||
|
|
̂ |
̂ |
|
Подействуем операторами и на базисные векторы { , , }: |
||||
̂ |
|
̂ |
̂ |
|
= 0 |
= (0; 0; 0), = = (0; 1; 0), |
= = (0; 0; 1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = (0 |
1 |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ , ] = |1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
0| = − = (0; 0; −1), |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= [ , ] = |0 |
|
0| = −2 = (0; 0; −2), |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
= |0 |
0 |
|
1| = + 2 = (1; 2; 0) = ( 0 |
|
|
0 |
2) |
|||||||
= [ , ] |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
−1 |
−2 |
0 |
||
|
̂ |
̂ ̂ |
|
|
|
|
|
̂ |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
Так как = , то матрица оператора и |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
С = (0 1 0) ( 0 0 |
2) = ( 0 0 |
2). |
||||||||||
|
̂ |
|
0 |
0 |
1 |
−1 |
−2 |
0 |
−1 |
−2 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор необратим, так как det = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 3. В пространстве 3 |
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|||||
оператор A действует по правилу: |
|
|||||||||||||
̂ = ( , ) ∙ , где = (1; 1; 1), |
( , ) –скалярное произведение векторов. |
|||||||||||||
a) |
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверить, чтоA - линейный оператор. |
|
|
|
|
|
|||||||||
b) Найти матрицу оператора в базисе{ , , }. |
|
|
|
|
|
|||||||||
c) |
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
Найти ядро и образ оператора A. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
d)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
Решение.
a) |
Проверим линейность оператора: |
|
|
1) |
̂ |
|
|
( 1 + 2) = ( 1 + 2, ) = (( 1, ) + ( 2, )) = ( 1, ) + ( 2, ) = |
|||
|
|
̂ |
̂ |
|
|
= 1 |
+ 2. |
2) |
̂ |
̂ |
|
( ) = ( , ) = ( , ) = . |
|
||
b) |
̂ |
|
|
Подействуем оператором |
на базисные векторы { , , }: |
||
̂ = ( , ) ∙ = 1 ∙ (1; 1; 1) = (1; 1; 1),
̂ = ( , ) ∙ = 1 ∙ (1; 1; 1) = (1; 1; 1),
̂ = ( , ) ∙ = 1 ∙ (1; 1; 1) = (1; 1; 1).
̂ |
|
|
Запишем матрицу оператора , выписывая координаты образов базисных |
||
векторов в столбцы: |
|
|
1 |
1 |
1 |
А = (1 |
1 |
1). |
1 |
1 |
1 |
|
̂ |
|
|
|
c) Чтобы найти ядро , решим однородную систему уравнений: = . |
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
(1 |
1 |
1) ( 2) = (0),rang = 1 |
||
1 |
1 |
1 |
3 |
0 |
система имеет бесконечно много решений: |
|
|||
|
|
−С1 − С2 |
−1 |
−1 |
= ( С1 ) = С1 ( 1 ) + С2 ( 0 ) , С1, С2 |
||||
|
|
С2 |
0 |
1 |
= С1 1 + С2 2, где 1 |
= (−1; 1; 0), 2 = (−1; 0; 1) |
|||
̂ |
+ С2 2, где 1 = (−1; 1; 0), 2 = (−1; 0; 1)} |
|||
Ker = { = С1 1 |
||||
̂ |
̂ |
̂ |
̂ |
̂ |
Defect = dim Ker = 2 dim Im = 1 = Rang (Rang = rang ) |
||||
̂ |
|
|
|
|
Im = { = , = (1; 1; 1), }. |
|
|
||
d) Обратный оператор не существует по всем трем критериям: |
||||
1 |
1 |
1 |
|
|
1)det = |(1 |
|
|
|
|
1 1)| = 0, 2) Ker  ≠ {0}, 3) Im ≠ 3. |
||||
1 |
1 |
1 |
|
|
Задача 4 (задача 2.10 из типового расчета).
В пространстве 2 многочленов степени не выше 2 задан оператор:
̂ ( ) = ( ( ))′ + ′′( ). a) Показать линейность оператора ̂.
b) Найти матрицу линейного оператора ̂в каноническом базисе пространства
2.
c) Найти образ многочлена ( ) = − 2 + 5 − 3. d) Найти ядро линейного оператора ̂.
e) Существует ли обратный оператор?
Решение:
а) Проверим линейность оператора:
1) ̂( 1( ) + 2( )) = ( ( 1( ) + 2( )))′ + ( 1( ) + 2( ))′′ =
=1( ) + 2( ) + ( 1( ) + 2( ))′ + ′′1( ) + ′′2( ) =
=1( ) + 2( ) + ′1( ) + ′2( ) + ′′1( ) + ′′2( ) =
=( 1( ) + ′1( )) + ′′1( ) + ( 2( ) + ′2( )) + ′′2( ) =
=( 1( ))′ + ′′1( ) + ( 2( ))′ + ′′2( ) = ̂( 1( )) + ̂( 2( )).
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
+ ( ( )) |
′′ |
= ( ( )) |
′ |
+ ( ( )) |
′′ |
̂ |
|||||
2) ( ( )) = ( ( )) |
|
|
|
|
= ( ). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Найдем матрицу в каноническом базисепространства 2: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
= , |
= 2. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
̂ |
= ( ∙ 1) |
′ |
+ (1)′′ = 1 = (1; 0; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
̂ |
= ( ∙ ) |
′ |
+ ( )′′ = 2 = (0; 2; 0), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
̂ |
= ( ∙ |
2 |
) |
′ |
+ ( |
2 |
) |
′′ |
= |
3 |
2 |
+ 2 = |
(2; 0; 3). |
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
̂ |
|
|
Запишем матрицуоператора , выписывая координаты образов базисных |
||
векторов в столбцы: |
|
|
1 |
0 |
2 |
= (0 |
2 |
0). |
0 |
0 |
3 |
с) Чтобы найти образ многочлена ( ), запишем его в координатной форме
|
|
( ) = − 2 + 5 − 3 = −3 |
+ 5 |
− 1 |
= (−3; 5; −1). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
−3 |
|
−5 |
̂ |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 10 − 5. |
||||
|
|
(0 2 0) ( 5 ) = (10) ( ) = −3 |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
−1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
d) Чтобы |
найти |
ядро |
|
|
̂ |
|
|
|
|
систему |
уравнений: = |
||||||
|
|
, решим однородную |
|||||||||||||||
1 |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.(0 2 |
0) ( 2) = (0), |
|
rang = 3 система |
|
имеет |
единственное |
|||||||||||
0 |
0 |
3 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
̂ |
|
|||
тривиальное решение: = (0) = (0,0,0) |
|
|
|||||||||||||||
Ker = {0}. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
̂−1 |
, оператор |
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
e) Ker = {0} существует |
обратим. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Матрица обратного оператора имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
0 |
−4 |
1 |
0 |
−2/3 |
|
|
|||
|
|
|
−1 |
= |
0 |
1/2 |
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(0 |
3 |
|
|
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
0 ) = ( |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1/3 |
|
|
||||
Задача 5 (задача 2.11* из типового расчета).
Оператор Â действует в пространстве 2 многочленов степени не выше 2
̂ ( ) = ∙ ( + ) − ∙ ′( − )
a)Показать линейность оператора.
b)Найти его матрицу в каноническом базисе пространства 2.
c)Найти образ многочлена ( ) = 4 2 + − 1.
d)Найти ядро линейного оператора Â.
e)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
Решение:
a) Проверим линейность оператора:
2)̂( 1( ) + 2( )) = 2 ( 1( + 1) + 2( + 1)) − 2( 1( − 1) + + 2( − 1))′ = 2 1( + 1) + 2 2( + 1) − 2 ′1( − 1) − 2 ′2( − 1) =
=(2 1( + 1) − 2 ′1( − 1)) + (2 2( + 1) − 2 ′2( − 1)) =
=̂ 1( ) + ̂ 2( ).
2)̂( ( ) = 2 ( + 1) − 2 ′( − 1)) = (2 ( + 1) − 2 ′( )) =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ( )). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b) Найдем матрицу оператора в каноническом базисе пространства 2: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
= , |
|
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
̂ |
= 2 1 − |
2 |
(1) |
′ |
= 2 = |
(0; 2; |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
̂ |
= 2 ( + 1) |
− |
2 |
( − 1) |
′ |
= |
2 |
2 |
+ 2 − |
2 |
|
= |
2 |
+ 2 = (0; 2; 1) |
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
̂ |
= 2 ( + 1) |
2 |
− |
2 |
(( − 1) |
2 |
|
′ |
= 2 |
3 |
+ 4 |
2 |
+ 2 − (2 |
3 |
− 2 |
2 |
) = 2 |
2 |
+ 2 = |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= (0; 2; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты |
образов |
базисных |
|||||||||
Запишем матрицу оператора , выписывая |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов в столбцы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (2 |
2 |
|
|
|
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) Чтобы найти образ многочлена запишем его в координатной форме: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( ) = 4 2 + − 1 |
= − + |
|
+ 4 = (−1; 1; 4). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(8) = 9 |
+ 8 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
( ) = (2 2 2) ( 1 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d) Чтобы найти ядро Â, решим однородную систему линейных уравнений
= : |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
(2 |
2 |
2) ( 2) = (0) , rang = 2, |
||
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 =
система имеет бесконечное множество решений: { 2 = −2 ,3 =
Ker  = { ( ) = 2 − 2 + , } Defect ̂ = dim Ker ̂ = 1.
e) Обратный оператор не существует по всем трем критериям:
1) det = 0, 2) |
|
Ker  ≠ {0}, 3) Im ≠ 2. |
Домашнее задание:
№ 1. В пространстве 2 многочленов степени не выше 2 задан оператор
̂ ( ) = ∙ ′( )
a)Показать линейность оператора.
b)Найти матрицу оператора в каноническом базисе пространства 2.
c)Найти образ многочлена ( ) = 3 2 − 5 + 6.
d)Найти ядро линейного оператора Â.
e)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№ 2.В пространстве 3 многочленов степени не выше 3 задан оператор
̂ ( ) = ′′( )
a)Показать линейность оператора.
b)Найти его матрицу в каноническом базисе пространства 3.
c)Найти образ многочлена ( ) = −2 3 + − 3.
d)Найти ядро линейного оператора Â.
e)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№3. В пространстве 2 многочленов степени не выше 2 задан оператор
̂ ( ) = ′( ) − ( )
a)Показать линейность оператора.
b)Найти его матрицу в каноническом базисе пространства 2.
c)Найти образ многочлена ( ) = − 7 2.
d)Найти ядро линейного оператора Â.
e)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№4*. В пространстве оператор ̂ действует по правилу:
3 A
̂ [ ] , где . A = , + = (4; 2; 0)
a) Проверить, что̂ - линейный оператор.
A
b)Найти матрицу оператора в базисе{ , , }.
c)Существует ли обратный оператор? Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№ 5**. Оператор ̂ действует в пространстве 2×2 всех квадратных матриц
̂ |
|
|
|
−1 |
4 |
второго порядкапо правилу: ( ) = |
|
+ + |
, где = ( |
3 |
−3). |
a)Показать, что ̂ – линейное оператор.
b)Составить его матрицу в каноническом базисе.
c)Найти ядро и образ оператора ̂.
d)Существует ли обратный оператор?Если да, то найти его матрицу в том же базисе.
№ 6**.Показать, что оператор ̂, действующий по правилу:
̂(( )) = ( ) + (− )
является линейным оператором в пространстве функций :
= { + − + , , , }.
Найти матрицу оператора ̂в каком-нибудь базисе пространства. Найти ядро и образ оператора. Обратим ли оператор ̂?
Решить из типового расчета задачи 2.9 (пункты a), b), c) и d)), 2.10 и
2.11*(свой вариант).