2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 06 Пастухова

векторов. Действия над линейными операторами.

Задача 5.

Операторы действуют в пространстве 3,

= ( ,

,

) 3.

1

2

3

Проверить,

является ли заданные операторы

линейными.

В

случае

Решение:

̂

− 4 2

− 3 3, 2 2

+ 3, 2 + 2 3);

а) = (5 1

̂

− 4 2

− 3 3, 2 2

2

б) = (5 1

+ 3 , 2 + 2 3).

̂

− 4 2

− 3 3, 2 2

+ 3 , 2 + 2 3 + 1).

c) = (5 1

̂

3

3

̂

3

3

.

a) A:

→

, т.е A вектор из

переводит в вектор из

5

−4

−3

= (0

2

1 ).

0

1

2

̂

ищем , решая однородную систему линейных уравнений АХ=O

5

−4

−3

1

0

(0 2 1 ) ( 2) = (0)

0

1

2

3

0

5

−4

−3

5

−4

−3

(0

1

2 ) ~ (0

2

1 ); rang(A)=3 => существует только

0

2

1

0

0

−3

тривиальное решение.=> 1 = 0, 2

= 0, 3 = 0.

̂

Ker = {(0,0,0) = { 0}.

̂

Обратный оператор существует, так как Ker = {(0,0,0) = {

0};

Его матрица −1 =

1

3

5

2

(0

10

−5);

15

0

−5

10

1

̂−1

1

3

5

2

Явный вид обратного оператора:

=

15

(0

10

−5) (

2) =

0

−5

10

3

(3 1 + 5 2 + 2 3)/15

( (2 2 − 3)/3

)

(− 2 + 2 3)/3

̂

̂

− 4 2 − 3 3

3

, 2 + 2 3) + (5 1

− 4 2 − 3y3, 2 2 +

+ = (5 1

, 2 2 + 3

3

, + 2 ) = (5( + )

− 4( + ) − 3( + ), 2( + ) +

3

2

3

1

1

2

2

3

3

2

2

̂

=>

+

, ( + ) + 2( + )) ≠ ( + )

2

2

3

3

̂

̂

+ = (5 1 − 4 2 − 3 3, 2 2 + 3, 2 + 2 3 + 1) + (5 1 − 4 2 −

3y3, 2 2+ 3, 2 + 2 3

+ 1) =

(5( 1 + 1) − 4( 2 + 2) − 3( 3 +

̂

3), 2( 2 + 2) + ( 3 + 3), ( 2 + 2) + 2( 3 + 3) + ) ≠ ( + ) =>

̂

не является линейным оператором.

Задача 6.

Оператор

̂

3

, = ( 1, 2

3

.

действуют в пространстве

, 3)

Проверить,

является

ли

он

линейными. В случае линейности

записать

̂

= (2 1 − 2 − 3, 1 − 2 2 + 3, 1 + 2 − 2 3) = .

Условия линейности выполняются

̂

=> − линейный оператор.

Найдем матрицу линейного оператора в каноническом базисе:

2

−1

−1

= (1

−2

1 );

1

1

−2

̂

ищем , решая однородную систему линейных уравнений АХ=O;

2

−1

−1

1

0

(1 −2 1 ) ( 2) = (0)

1

1

−2

3

0

2

−1

−1

1

−2

1

1

−2

1

1

−2

1

(1 −2 1 ) ~ (2 −1

−1) ~ (0

3

−3) ~ (0

1

−1);

1

1

−2

0

3

−3

0

1

−1

0

0

0

rang(A)=2

=>

3 = ; (свободная переменная):

1 и 2

базисные.

̂

Оператор не обратим, т.к. Ker ≠ { 0}

̂

+ 5 3, 1 + 4 2

− 3, 3 1 − 5 2 + 2 3);

= (2 1 − 2

̂

+ 4 2

+ 3 3, 2 1 + 3

, 3 2 − 3);

= ( 1

̂

̂ ̂ ̂̂

2

−1

5

1

4

3

A=(1 4 −1); B=(2 0 1 );

3

−5

2

0

3

−1

2

−1

5

1

4

3

0

23

0

AB=(1

4

−1) (2

0

1 ) = ( 9

1

8)

3

−5

2

0

3

−1

−7

18

2

1

4

3

2

−1

5

15

0

7

BA=(2

0

1 ) (1

4 −1) = ( 7

−7

12)

0

3

−1

3

−5

2

0

17

−5

0

23

0

15

0

7

−15

23

−7

AB-BA=( 9

1

8) − ( 7

−7

12) = ( 2

8

−4)

−7

18

2

0

17

−5

−7

1

7

̂

−15

23

−7

1

−15 1 +

23 2

−7 3

8 2

−4 3)

= ( 2

8 −4) (

2) = ( 2 1 +

−7 1 7

3

−7 1 +

2

+7 3

Можно

записать

так:

̂

− 7 3, 2 1 + 8 2 − 4 3, −7 1 +

= (−15 1 + 23 2

2+7 3)

−

Задача 8 Вычислить: (

)

5

−

̂

Матрица А=(

) является матрицей

линейного оператора -

поворота вектора против часовой стрелки на угол в 2.

̂

̂

Если подействовать данным оператором n раз, = , то согласно свойствам

операции умножения

линейных операторов, матрица такого оператора

−

̂

=(

)

B=

. При этом действия оператора − поворот n раз на

cos ( )

−sin ( )

которого выглядит так

(sin ( )

cos ( ) )

=>

−

cos ( )

−sin ( )

(

)

= (sin ( )

cos ( ) )

̂

3

, = ( 1, 2, 3)

3

.

Задача 2.6. Оператор действует в пространстве

Проверить, является ли оператор

̂

линейным. В случае линейности записать

̂

3

.

матрицу оператора в каноническом базисе пространства

̂

− 5 2

+ 3 3, −2 1 + 3 2

− 3, 2 + 2 3);

а) = ( 1

̂

− 5 2

+3 3, −2 1 + 3 2 − 3, 2 + 2).

б) = ( 1

Решение:

̂

3

→

3

,

̂

3

переводит в вектор из

3

.

а) A:

т.е A вектор из

6

Чтобы

найти

̂

,

подействуем линейным

оператором на

значение 1

вектор

1,

т.е. в

̂

− 3, 2 + 2 3)

= ( 1 − 5 2 + 3 3, −2 1 + 3 2

подставим координаты 1:

1 = 1; 2 = 3 = 0, получим

̂

1 = (1, −2,0).

1

−5

3

= (−2

3

−1).

0

1

2

̂

3

3

̂

3

3

.

б) :

→

, т.е вектор из

переводит в вектор из

1.

̂

( + ) = ( 1 + 1 − 5( 2 + 2) + 3( 3 + 3), −2( 1 + 1) + 3( 2 +

Решение:

1

−5

3

a) матрица линейного оператора = (−2

3

−1).

0

1

2

7

1

−5

3

−1| + 5 |−2

−1| + 3 |−2

3| = 7 − 20 − 6 =

det = |−2

3

−1|= 1|3

0

1

2

1

2

0

2

0

1

−19 ≠ 0.

̂−1

существует. Его матрицей будет матрица, обратная к матрице

Тогда

11

12

13

̂

−1

1

+

(

)

линейного оператора :

=

, где

= (−1)

.

det

21

21

21

31

32

33

−1 = −

1

7

13

−4

( 4 2

−5).

19

−2

−1

−7

Проверка:

7

13

−4

1

−5

3

1

0

0

−1 = −

1

( 4 2

−5) (−2

3 −1) = (0 1 0) = .

19

−2

−1

−7

0

1

2

0

0

1

b) найти образ вектора = (−1,2,3),

̂

= .

1

1

−5

3

−1

−2

( 2) = (−2 3 −1) ( 2 ) = ( 5 ).

3

0

1

2

3

8

̂

̂

̂

Найти ядро линейного оператора . Вспомним,

что Ker = { : = 0}; тогда

̂

координаты можно искать как решение системы = 0. Запишем систему

в матричном виде и решим методом Гаусса.

1

−5

3

1

0

(−2

3 −1) ( 2) = (0);

0

1

2

3

0

1

−5

3

1

−5

3

1

−5

3

(−2

3 −1) ~ (0 −7

5) ~ (0 1 2 );

0

1

2

0

1

2

0

0

19

3 = 0, 2 = 0, 1 = 0.

̂

Ker = {(0,0,0) = { 0}.

1

−5

3

0

−5

0

(−2

3

−1) (1) = ( 3 ) ≠ (1) => не является.

0

1

2

0

1

0