2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 09
.pdf
1
Билинейные и квадратичные формы
Определение 1. Билинейной формой (или билинейным функционалом) на про-
странстве Ln называется отображение f : Ln Ln R , сопос-
тавляющее каждой паре векторов число, причём функция f -
линейная по каждому из своих аргументов, т.е. x, y, z Ln ,
, R :
f ( x y, z) f (x, z) f ( y, z)
f (x, y z) f (x, y) f (x, z)
Пусть {e1,e2 ,..., en}- базис в Ln .
Пусть {x1, x2 ,..., xn}, {y1, y2 ,..., yn} - координаты векторов x и y .
Тогда значение билинейной функции на этой паре векторов может быть вы-
числено с использованием формул из определения 1 следующим образом: f (x, y) f (x1e1 x2e2 ... xnen , y1e1 y2e2 ... ynen )
f (x1e1, y1e1 y2e2 ... ynen ) f (x2e2 , y1e1 y2e2 ... ynen ) ... f (xnen , y1e1 y2e2 ... ynen )
f (x1e1, y1e1 ) f (x1e1, y2e2 ) ... f (x1e1, ynen ) f (x2e2 , y1e1 ) f (x2e2 , y2e2 ) ... f (x2e2 , ynen ) ...f (xnen , y1e1 ) f (xnen , y2e2 ) ... f (xnen , ynen ) ...
n
xi y j f (ei , e j )
i, j 1
Пример 1. Пусть x 2e1 3e2 , y 4e1 5e2 , тогда
f (x, y) f (2e1 3e2 , 4e1 5e2 ) f (2e1 , 4e1 5e2 ) f (3e2 , 4e1 5e2 ) f (2e1 , 4e1 ) f (2e1 ,5e2 ) f (3e2 , 4e1 ) f (3e2 ,5e2 )
8 f (e1 , e1 ) 10 f (e1 , e2 ) 12 f (e2 , e1 ) 15 f (e2 , e2 )
Пусть bij f (ei ,ej ) , i, j 1,...n - значения билинейной функции на всевоз-
можных парах базисных векторов. Они называются коэффициентами функции f в бази-
се {e}. Тогда, например, |
f (x, y) из предыдущего примера можно переписать в виде: |
||||
f (x, y) 8 f (e1 , e1 ) 10 f (e1 |
, e2 ) 12 f (e2 , e1 ) 15 f (e2 , e2 ) 8b11 10b12 12b21 15b22 |
||||
|
|
|
|
|
|
b11 |
b12 |
b21 |
b22 |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
В общем виде |
f (x, y) xi y j f (ei , ej |
) xi y j |
bij |
||
|
|
|
i, j 1 |
i, j 1 |
|
Тогда всякую билинейную форму можно задать с помощью матрицы:
2
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
f (x, y) x , x |
|
,..., x |
|
b21 |
b22 |
|
2 |
n |
|
|
|
||
1 |
|
|
... ... |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn2 |
|
|
|
|
bn1 |
||
... b1n
... b2n
... ...
... bnn
y1yn
|
|
b |
b |
... |
b |
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
Матрица |
F |
b21 |
b22 |
... |
b2n |
- называется матрицей билинейной функции |
... ... |
|
... |
||||
|
e |
... |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn 2 |
... |
|
|
|
|
bn1 |
bnn |
|
||
Матричная форма записи для примера 1 будет выглядеть тогда следующим об-
f (e , e )
разом: f (x, y) x , x 1 1
1 2 f (e2 , e1 )
f (e , e )
1 2
f (e2 , e2 )
y |
|
|
f (e , e ) |
1 |
|
2,3 |
1 1 |
|
|
|
f (e2 , e1 ) |
y2 |
|
||
f (e , e ) 4
1 2 f (e2 , e2 ) 5
Пример 2. Обычное скалярное произведение векторов на унитарном или евклидовом пространстве также является билинейной формой и соответствует единичной
матрице E, так как bii f (ei ,ei ) 1, bij |
f (ei , ej ) 0 |
при i j |
|
||
|
|
b |
|
|
|
Пример 3. Функция F ( f , g) f (x)g(x)dx |
является билинейной формой на |
||||
|
|
a |
|
|
|
пространстве C[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b] |
|
||||
Если |
положить |
x y для билинейной формы, то полученное |
отображение |
||
f : Ln R |
называется |
квадратичной формой на |
пространстве Ln . |
Квадратичная |
|
|
|
n n |
|
|
|
форма имеет вид f (x, x) bij xi x j . |
Квадратичная форма является однородной |
||||
i 1 j 1
функцией второй степени относительно переменных {x1, x2 ,..., xn}, которые мы в дальнейшем будем называть координатами вектора x в данном базисе.
Рассмотрим функцию f (x, x) f (x1e1 x2e2 ... xnen , x1e1 x2e2 ... xnen )
f (x1e1 , x1e1 ) f (x1e1 , x2e2 ) ... f (x1e1 , xn en )
f( x1e1 ,x1e1 x2e2 ... xnen )
f (x2e2 , x1e1 ) f (x2e2 , x2e2 ) ... f (x2e2 , xn en ) ...
f( x2e2 ,x1e1 x2e2 ... xnen )
f (xn en , x1e1 ) f (xn en , x2e2 ) ... f (xn en , xn en )
f( xnen ,x1e1 x2e2 ... xnen )
x2 |
f (e , e ) x x |
2 |
f (e , e |
2 |
) ... x x |
n |
f (e , e |
n |
) x |
x |
f (e |
2 |
, e |
) x2 |
f (e |
2 |
, e |
2 |
) ... x |
2 |
x |
n |
f (e |
2 |
, e |
n |
) ... |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
x f (e |
n |
, e ) x |
n |
x |
2 |
f (e |
n |
, e |
2 |
) ... x |
2 |
f (e |
n |
, e |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2b |
x x b |
|
... x x b |
|
x |
x b |
|
x2b |
|
... x |
2 |
x b |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
11 |
|
|
1 2 |
12 |
|
|
|
|
1 n 1n |
|
2 1 2n |
|
2 22 |
|
|
|
n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
n |
x b |
|
x |
n |
x |
b |
|
... x |
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 n1 |
|
|
|
2 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
n nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3
Поскольку xi x j x j xi , то на значение квадратичной формы влияют только суммы вида
bij bji , а не каждое слагаемое в отдельности, тогда
b x x |
|
b |
|
x x |
|
1 |
(b |
b |
|
)x x |
|
|
1 |
(b |
b |
|
)x x |
, пусть b |
b |
|
2a |
j |
ji |
|
ji |
j |
|
ji |
ji |
||||||||||||||
ij i |
|
j i |
|
2 |
ij |
|
i |
|
2 |
ij |
|
j i |
ij |
|
ij |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда очевидно, что квадратичную форму всегда можно задать с помощью симметрической матрицы (матрицы, у которой равны элементы, расположенные сим-
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
метрично относительно главной диагонали) вида |
Ae |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|
... |
|||
|
|
... ... |
... |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
an1 |
ann |
|||
Из всего вышесказанного можно сделать вывод: всякой квадратичной форме со-
ответствует единственная симметричная матрица A порядка n. Верно и обратное: если есть симметричная матрица A порядка n, то мы можем записать квадратичную форму с матрицей A.
Квадратичную форму n переменных {x1, x2 ,..., xn} будем записывать в виде
n |
|
|
f (x) aij xi xj . Числа |
a |
называются коэффициентами квадратичной формы. Во- |
i, j 1 |
ij |
|
|
|
обще говоря, числа aij принадлежат или R или С, в зависимости от того, над каким полем рассматривается линейное пространство L. Повторимся - f (x) - числовая функция векторного аргумента x x1, x2 ,..., xn .
Рассмотрим две задачи: по имеющейся квадратичной форме, выписать ее мат-
рицу. И обратно: есть симметричная матрица – составить по ней квадратичную форму.
Замечание 1: Выписывая матрицу квадратичной формы, необходимо учиты-
вать, что коэффициенты при смешанных членах в ней берутся удвоенными.
Пример 4. Записать матрицу заданной квадратичной формы
f (x) 4x2 |
2x x x x x2 3x2 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) 4 x2 |
|
2 x x |
1 x x 1 x2 |
3 x2 |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 2 |
|
1 3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
b11 |
|
|
2b12 2b21 |
|
2b13 2b31 |
|
b22 |
|
b33 |
|
||
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Пример 5. Задана матрица некоторой |
|
квадратичной формы. Записать саму |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадратичную форму. A |
2 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. |
f (x) x2 |
4x x |
|
6x x 2x x |
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса |
||||||||||||||||||||||
|
Используя матричное представление, квадратичную форму можно записать в |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x) X T A X , где |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
виде |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Например, квадратичная форма из примера 3 перепишется в виде |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) (x1, x2 , x3 ) |
2 |
|
5 |
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратичная форма записывается в таком виде единственным образом! |
|||||||||||||||||||||||
|
Теорема 1. Пусть A – квадратичная форма на пространстве Ln , заданная отно- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
сительно канонического базиса матрицей Ae . Если теперь задан но- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
вый базис {f}, то матрицы квадратичной формы в разных базисах |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
связаны между собой с помощью матрицы перехода Ce f . Соотно- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
шение выглядит следующим образом: A |
f |
CT |
|
A C |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e f |
|
e e f |
|
||
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X e |
|
x2 |
|
X f |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть |
... |
, |
|
... |
- вектор-столбцы, состоящие из координат век- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тора |
x, заданного своими |
координатами в |
базисах {e} |
и |
{f} |
соответственно, |
||||||||||||||||||
|
a |
a |
|
11 |
12 |
Ae |
a21 |
a22 |
|
|
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
an2 |
|
an1 |
|
... a1n
... a2n
... ...
... ann
- матрица квадратичной формы в базисе {e}.
5
|
a |
a |
|
11 |
12 |
Af |
a21 |
a22 |
|
|
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
an2 |
|
an1 |
|
... a1n
... a2n
... ...
... ann
- матрица квадратичной формы в базисе {f}.
Как было сказано ранее, можем записать квадратичную форму в матричном виде
f (x) XeT Ae Xe Ce f X f T Ae Ce f X f
X Tf CT |
AeCe f X f X Tf |
CT AeCe f |
X f |
, где |
A |
f |
CT |
A C |
. |
|
|
||||||
e f |
|
|
|
|
e f |
|
|
|
|
|
|
e f |
e e f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Af |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример |
6. Пусть |
|
в |
базисе |
{e} |
|
квадратичная |
форма задана в |
виде |
||||||||
f (x) x2 |
3x2 4x2 2x x |
2x x |
6x x |
. Найти матрицу квадратичной формы в |
|||||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
базисе |
{f}, |
заданном |
координатами |
своих |
векторов: |
f1 e1 , |
f2 e1 |
e2 , |
|||||||||
f3 e2 e3
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы в каноническом базисе про-
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
странства: Ae |
1 |
3 |
3 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
1 |
|
||
Напомним, что матрица перехода состоит из координат новых базисных векто-
ров, записанных относительно старого базиса по столбцам.
|
1 |
1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
Матрица перехода: Ce f |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 1 1 |
1 1 |
1 |
0 |
|
1 1 |
1 1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|||||||||||
A |
f |
CT A C |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
3 |
3 |
|
0 1 |
1 |
|
|
0 |
2 |
2 |
|
0 1 |
1 |
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|||
|
e f |
e e f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 1 |
3 |
4 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что в новом базисе матрица квадратичной формы имеет более простой диагональный вид.
Следствие 1.1. Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.
Это утверждение вытекает из формулы, приведенной в теореме 1, из обратимо-
сти матриц перехода и того факта, что ранг матрицы не меняется при ее умножении справа и/или слева на обратимую матрицу.