2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 15
.pdfПостроение ортонормированного базиса из собственных
векторов для симметричного линейного оператора
На прошлой лекции мы изучили ортогональные и симметричные операторы в евклидовом пространстве.
Мы выяснили, что
Ортогональная матрица может не иметь действительных собственных значений.
Симметрическая матрица ВСЕГДА имеет действительное собственное значение.
Все собственные значения симметрической матрицы – действительные числа.
Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
Для любой симметрической вещественной матрицы A существует ортогональная матрица U, такая, что матрица U-1AU – диагональная матрица.
Алгоритм нахождения ортонормированного базиса из собственных векторов симметрической матрицы:
I. Найти характеристические числа i заданной симметрической матрицы.
II. Если i - простой корень характеристического уравнения, то ему отвечает с точностью до множителя один собственный вектор. Нормируем его и получаем единичный вектор.
Если i - корень кратности k , то ему отвечают k линейно независимых собственных векторов. В этом случае их необходимо отогонализировать и подвергнуть нормировке - получаем k линейно независимых ортонормированных вектора,
отвечающих собственному значению i . Так как собственные векторы, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны, то, собирая их вместе,
получаем ортонормированный базис из собственных векторов.
Пример 1. Привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симметрическую матрицу A |
2 |
1 |
2 |
|
. Указать ортонормированный базис. |
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
Решение.
На первом шаге необходимо найти собственные значения данного линейного оператора.
Составим характеристическое уравнение данного преобразования: Ae E 0 .
|
|
|
2 |
|
2 |
|
II III |
|
5 |
5 |
5 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae E |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(5 ) |
2 |
1 |
2 |
|
2I |
(5 ) |
0 |
1 |
0 |
(5 )(1 )2 |
0 |
|||||
|
2 |
2 |
1 |
2II |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, алг кратность 2 |
|
Корни уравнения |
1 |
|
- собственные значения линейного |
|
2 |
5, алг кратность 1 |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На втором шаге найдем собственные векторы, относящиеся к каждому |
|||||||||||||||||||
собственному значению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. 1 1 |
. Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 . |
|
|||||||||||||||||
|
2 2 |
2 x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Ae E) |
X |
2 2 |
2 |
|
x2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 2 |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решением |
является |
вектор |
|
U |
|
С1 |
1 |
С2 |
|
0 |
, C1,C2 |
0 , базис |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пространства решений образуют векторы u ( 1;1;0)T , u |
2 |
( 1;0;1)T |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 2 5 . Решим матричное уравнение (Ae 5 E)X 0 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
2 x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Ae 5E) X |
|
2 |
4 2 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
2 4 x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
векторы U 2 |
С3 |
|
C3 0 , |
|
|
|
Решением являются |
1 , |
базисом |
пространства |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
решений является вектор u |
(1;1;1)T . |
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Вектор |
u3 (1;1;1) |
ортогонален векторам |
u1 ( 1;1;0) и |
u2 ( 1;0;1) , |
||||
поскольку они относятся к различным собственным значениям. |
|
|
||||||
Ортогонализируем векторы u1 ( 1;1;0) |
и u2 |
( 1;0;1) . |
|
|||||
Пусть |
f1 u1 |
|
|
|
|
|
|
|
f2 u2 f1 . Выберем |
таким |
образом, |
чтобы |
векторы |
f1, f2 были |
ортогональны, то есть ( f1, f2 ) 0 ( f1, f2 ) ( f1, u2 f1) ( f1, u2 ) ( f1, f1) 0
( f1,u2 ) (u1,u2 ) 1 ( f1, f1) (u1,u1) 2
f |
|
u |
|
|
1 |
f |
1 |
( 1;1;0) ( 1;0;1) ( |
1 |
; |
1 |
;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теперь векторы |
f1, f2 , u3 |
ортогональны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Нормируем их. |
|
|
|
f |
2 |
|
|
|
, |
u |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h ( |
|
; |
|
|
;0) |
|
|
h |
( |
1 |
; |
1 |
|
|
; |
|
|
2 |
|
) |
|
h ( |
|
; |
|
; |
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||
Векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составляют искомый ортономированный базис.
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
6 |
|
3 |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||
Ортогональная матрица U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
6 |
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Матрица обратная к U совпадает с UТ, то есть
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U 1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
|
6 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
Матрица оператора A в базисе из собственных векторов имеет вид |
||||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ah U 1AeU |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
5 |
|
|
|
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, ПРИВОДЯЩЕЕ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Ранее мы говорили о методе Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду – методе выделения полных квадратов. В результате получалось некоторое линейное преобразование, в общем случае не однозначно определенное, но
среди всех таких матриц всегда можно выбрать ортогональную.
С другой стороны, рассмотренная нами выше формула приведения матрицы к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования D = U-1AU= UTAU ( в
силу U-1= UT) аналогична преобразованию симметрической матрицы A квадратичной формы с линейным преобразованием неизвестных U. Поскольку диагональную матрицу имеет квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, получаем
следующую теорему.
Теорема 1. Для каждой действительной квадратичной формы
заданной в евклидовом пространстве, можно указать ортогональное неизвестных, приводящее ее к каноническому виду.
Геометрически такой выбор матрицы означает переход к новой декартовой системе координат, определяемой ортонормированным базисом собственных векторов матрицы A. Новые оси координат называют в этом случае главными осями матрицы A
и соответствующей квадратичной формы Теорема 1 называется
теоремой о приведении действительной квадратичной формы к главным осям.
Теорема 2. Каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к
каноническому виду квадратичную форму матрицей A,
коэффициентами этого канонического вида будут характеристические корни матрицы
A, взятые с их кратностями.
В матричной формулировке теорема 2 может быть переписана в виде
Теорема 3. Какова бы ни была ортогональная матрица, приводящая к диагональному виду симметрическую матрицу A, на главной диагонали полученной
диагональной матрицы будут стоять характеристические корни матрицы A, взятые с их кратностями.
Приведению квадратичной формы к главным осям можно
придать следующую геометрическую формулировку: в евклидовом пространстве уравнение f (x1, x2,..., xn ) С определяет некоторую поверхность второго порядка.
Ортогональное преобразование X Ce f Y , приводящее форму к каноническому
виду означает поворот декартовых осей, осуществляющий преобразование уравнения
поверхности второго порядка |
к каноническому виду, по которому легко узнать тип |
|||||
данной поверхности. |
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому |
||||||
виду квадратичную форму f (x , x ) 17x2 |
12x x |
8x2 |
||||
1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
2 |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
6 |
|
|
|
Матрица квадратичной формы: |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
Найдем корни характеристического уравнения |
|
Ae E |
|
0 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
Ae E |
|
17 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
8 |
2 |
25 100 |
( 20)( 5) |
0 1 |
|
- |
||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
собственные значения.
Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению:
1 20 . Решим матричное уравнение (Ae 20Е)X 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
6 |
|
x1 |
|
|
|
0 |
3 |
6 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
12 |
x |
|
|
|
0 |
6 |
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решением |
являются |
|
векторы |
U |
|
|
|
2 |
C 0 |
, |
|
базисом пространства |
||||||||||||
|
1 |
С |
, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решений является вектор u1 (2;1)T . |
Нормируем его: |
h1 ( |
|
|
2 |
|
; |
1 |
|
) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 5 . Решим матричное уравнение (Ae 5Е)X 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12 |
6 |
x1 |
|
0 |
|
, |
12 |
6 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
x2 |
|
0 |
|
|
6 |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решением являются векторы |
U |
|
С |
|
|
1 |
, |
C |
|
0 |
, базисом пространства |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решений является вектор u2 ( 1;2)T . Нормируем его: |
h2 |
( |
1 |
; |
2 |
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X UY |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Искомое преобразование |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
2 |
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канонический вид квадратичной формы: |
f 20 y2 |
5y2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Пример 3. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому |
||||||||||
виду квадратичную форму f (x , x , x ) 2x2 |
x2 |
x2 |
4x x |
4x x |
2x x |
|||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
1 2 |
1 3 |
2 |
3 |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица квадратичной формы |
A |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим характеристическое уравнение данного преобразования: Ae E 0 .
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A E |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
(2 )2 (4 ) 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
Корни уравнения |
|
2 |
|
- собственные значения. |
|||||
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
На втором шаге найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению.
1. 1 2 , решая матричное уравнение (Ae 2 E)X 0 ,
|
|
|
|
4 |
2 |
2 x1 |
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Ae |
2E) X |
2 |
1 |
1 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 x3 |
|
|
|
||||||
4 |
2 |
2 |
|
2 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1 1 |
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||
Решением является вектор U 1 |
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
С1 |
2 |
|
|
|
0 |
|
, C1,C2 |
0 , базис пространства |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решений образуют векторы u ( 1;2;0)T , |
u |
2 |
(1;0;2)T . Ортогонализируем их. |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть f1 u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 u2 f1 . Выберем |
|
таким |
|
образом, |
|
чтобы |
векторы f1, f2 были |
ортогональны, то есть ( f1, f2 ) 0 ( f1, f2 ) ( f1, u2 f1) ( f1, u2 ) ( f1, f1) 0
( f1,u2 ) (u1,u2 ) 1 ( f1, f1) (u1,u1) 5
f2 u2 12 f1 15 ( 1;2;0) (1;0;2) ( 54 ; 52 ;2)
Теперь векторы f1, f2 ортогональны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Нормируем их. |
|
f |
|
|
5 , |
|
f |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h ( |
|
; |
|
;0) |
|
|
h |
( |
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
5 |
|
|
) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. 2 |
4 . Решим матричное уравнение (Ae 4 E)X 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 x |
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( Ae 4E) X 2 |
5 1 |
|
|
x2 |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
5 1 |
|
|
0 |
|
3 3 |
|
|
|
0 1 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решением является |
векторы U 2 |
С3 |
|
1 |
|
, |
C3 0 , базисом |
пространства |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решений является вектор u |
( 2; 1;1)T . |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор u3 ( 2; 1;1) ортогонален векторам |
u1 ( 1;1;0) и |
u2 ( 1;0;1) , |
поскольку они относятся к различным собственным значениям и, как следствие,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
векторам h1 |
и h2 |
. Нормируем его. |
|
u3 |
|
|
|
|
6 , h3 |
; |
; |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h ( |
1 |
|
; |
|
2 |
|
|
|
;0) |
|
|
h |
( |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
5 |
|
|
) |
|
|
|
|
h |
|
( |
2 |
|
; |
1 |
|
; |
1 |
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
составляют искомый ортономированный базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ортогональная матрица U |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Искомое преобразование X UY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
1 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
5 |
|
|
|
|
1 |
30 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y1 |
1 |
|
|
|
|
y2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 |
30 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
y2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канонический вид квадратичной формы: f 2y12 2y22 4y32 .
Применим рассмотренный алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования для классификации кривых и поверхностей второго порядка.
Пример 4. Найти тип и каноническое уравнение кривой второго порядка
9x2 6y2 4xy 16x 8y 2 0
Решение. Рассмотрим уравнение кривой: 9x2 6 y2 4xy 16x 8y 2 0
|
|
|
квадратичная часть |
Выпишем матрицу квадратичной части: |
|
|
|
Матрица квадратичной формы: |
9 |
2 |
|
A |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
Найдем корни характеристического уравнения |
|
Ae E |
|
0 . |
|
5 |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ae |
E |
|
2 |
6 |
2 |
15 50 ( 5)( 10) 0 |
|
|
1 |
|
- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
собственные значения.
Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению:
1 5 . Решим матричное уравнение |
(Ae 5Е)X 0 . |
|||||||||||||||
4 |
2 |
x |
0 |
|
4 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 1 |
y |
0 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||
Решением |
|
являются |
|
векторы |
U |
|
С |
|
1 |
|
C 0 |
, базисом пространства |
||||
|
|
1 |
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решений является вектор u (1;2)T . |
Нормируем его: h1 ( |
1 |
|
; |
2 |
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 10 . Решим матричное уравнение (Ae 10Е)X 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
2 |
x |
0 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
y |
0 |
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решением |
являются |
векторы |
U |
|
С |
2 |
, C |
|
0 , |
|
базисом |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решений является вектор u ( 2;1)T |
. Нормируем его: h2 ( |
|
2 |
|
; |
|
1 |
|
) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
H {h1, h2} - собственный ортонормированный базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Перейдем |
к новым координатам |
(x', y') |
с |
помощью |
|
матрицы |
пространства
перехода от
исходного ортонормированного базиса {i, j} к собственному ортонормированному
базису {h1, h2}
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
5 |
|
|
||||||
U |
|
|
- матрица перехода |
||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
x' |
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
5 |
|
||||||
|
|
||||||
|
|
U |
|
|
|||
Искомое преобразование |
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
y' |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Выпишем преобразование координат:
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
x' |
|
5 |
|
||||
|
|
||||
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
. |
|
|
y' |
||||
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||
x |
|
|
|
|
x' |
|
|
|
|
y' x'cos y'sin |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
|
5 |
|
|
||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||
y |
|
x' |
|
y' x'sin y'cos |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Данное преобразование соответствуют повороту системы координат на угол :
2
tg 1 5 2 против часовой стрелки (т.к. угол положительный): по y 2 единицы,
5
по x - 1 единица
|
y |
x' |
|
4 |
|
y' |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 |
Перейдем к новым координатам, подставив x' и y' в уравнение кривой:
x' 2 y' 2 |
|
2x' y' 2 |
x' 2 y' |
2x' y' |
x' 2 y' |
|
2x' y' |
|
|
|||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
9 |
x'2 |
4x' y' 4 y'2 |
6 |
|
4x'2 |
4x' y' y'2 2 |
4 |
2x'2 3x' y' 2 y'2 |
|||||||||||
5 |
5 |
5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
16x' 32 y' |
16x' 8y' |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|