Добавил:
Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
28
Добавлен:
02.06.2020
Размер:
848.69 Кб
Скачать

Построение ортонормированного базиса из собственных

векторов для симметричного линейного оператора

На прошлой лекции мы изучили ортогональные и симметричные операторы в евклидовом пространстве.

Мы выяснили, что

Ортогональная матрица может не иметь действительных собственных значений.

Симметрическая матрица ВСЕГДА имеет действительное собственное значение.

Все собственные значения симметрической матрицы действительные числа.

Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Для любой симметрической вещественной матрицы A существует ортогональная матрица U, такая, что матрица U-1AU – диагональная матрица.

Алгоритм нахождения ортонормированного базиса из собственных векторов симметрической матрицы:

I. Найти характеристические числа i заданной симметрической матрицы.

II. Если i - простой корень характеристического уравнения, то ему отвечает с точностью до множителя один собственный вектор. Нормируем его и получаем единичный вектор.

Если i - корень кратности k , то ему отвечают k линейно независимых собственных векторов. В этом случае их необходимо отогонализировать и подвергнуть нормировке - получаем k линейно независимых ортонормированных вектора,

отвечающих собственному значению i . Так как собственные векторы, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны, то, собирая их вместе,

получаем ортонормированный базис из собственных векторов.

Пример 1. Привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

симметрическую матрицу A

2

1

2

 

. Указать ортонормированный базис.

 

2

2

1

 

 

 

 

 

Решение.

На первом шаге необходимо найти собственные значения данного линейного оператора.

Составим характеристическое уравнение данного преобразования: Ae E 0 .

 

 

 

2

 

2

 

II III

 

5

5

5

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ae E

 

2

 

1

2

 

 

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

1

 

 

 

2

2

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(5 )

2

1

2

 

2I

(5 )

0

1

0

(5 )(1 )2

0

 

2

2

1

2II

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, алг кратность 2

 

Корни уравнения

1

 

- собственные значения линейного

 

2

5, алг кратность 1

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оператора A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На втором шаге найдем собственные векторы, относящиеся к каждому

собственному значению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 1 1

. Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 .

 

 

2 2

2 x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Ae E)

X

2 2

2

 

x2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением

является

вектор

 

U

 

С1

1

С2

 

0

, C1,C2

0 , базис

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространства решений образуют векторы u ( 1;1;0)T , u

2

( 1;0;1)T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 2 5 . Решим матричное уравнение (Ae 5 E)X 0 .

 

 

 

4

2

2 x

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Ae 5E) X

 

2

4 2

 

x2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 4 x

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

векторы U 2

С3

 

C3 0 ,

 

 

Решением являются

1 ,

базисом

пространства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

решений является вектор u

(1;1;1)T .

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Вектор

u3 (1;1;1)

ортогонален векторам

u1 ( 1;1;0) и

u2 ( 1;0;1) ,

поскольку они относятся к различным собственным значениям.

 

 

Ортогонализируем векторы u1 ( 1;1;0)

и u2

( 1;0;1) .

 

Пусть

f1 u1

 

 

 

 

 

 

 

f2 u2 f1 . Выберем

таким

образом,

чтобы

векторы

f1, f2 были

ортогональны, то есть ( f1, f2 ) 0 ( f1, f2 ) ( f1, u2 f1) ( f1, u2 ) ( f1, f1) 0

( f1,u2 ) (u1,u2 ) 1 ( f1, f1) (u1,u1) 2

f

 

u

 

 

1

f

1

( 1;1;0) ( 1;0;1) (

1

;

1

;1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь векторы

f1, f2 , u3

ортогональны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормируем их.

 

 

 

f

2

 

 

 

,

u

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (

 

;

 

 

;0)

 

 

h

(

1

;

1

 

 

;

 

 

2

 

)

 

h (

 

;

 

;

 

)

Векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

составляют искомый ортономированный базис.

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

3

 

 

 

1

 

 

1

1

 

 

Ортогональная матрица U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица обратная к U совпадает с UТ, то есть

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 1

 

1

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

f (x1, x2,..., xn ) с
f (x1, x2,..., xn ) .
f (x1, x2,..., xn ) ,
преобразование

 

ˆ

 

 

 

Матрица оператора A в базисе из собственных векторов имеет вид

1

0

0

 

 

 

 

 

 

Ah U 1AeU

0

1

0

 

 

0

0

5

 

 

 

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, ПРИВОДЯЩЕЕ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Ранее мы говорили о методе Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду – методе выделения полных квадратов. В результате получалось некоторое линейное преобразование, в общем случае не однозначно определенное, но

среди всех таких матриц всегда можно выбрать ортогональную.

С другой стороны, рассмотренная нами выше формула приведения матрицы к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования D = U-1AU= UTAU ( в

силу U-1= UT) аналогична преобразованию симметрической матрицы A квадратичной формы с линейным преобразованием неизвестных U. Поскольку диагональную матрицу имеет квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, получаем

следующую теорему.

Теорема 1. Для каждой действительной квадратичной формы

заданной в евклидовом пространстве, можно указать ортогональное неизвестных, приводящее ее к каноническому виду.

Геометрически такой выбор матрицы означает переход к новой декартовой системе координат, определяемой ортонормированным базисом собственных векторов матрицы A. Новые оси координат называют в этом случае главными осями матрицы A

и соответствующей квадратичной формы Теорема 1 называется

теоремой о приведении действительной квадратичной формы к главным осям.

Теорема 2. Каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к

каноническому виду квадратичную форму матрицей A,

коэффициентами этого канонического вида будут характеристические корни матрицы

A, взятые с их кратностями.

В матричной формулировке теорема 2 может быть переписана в виде

Теорема 3. Какова бы ни была ортогональная матрица, приводящая к диагональному виду симметрическую матрицу A, на главной диагонали полученной

f (x1, x2,..., xn )

диагональной матрицы будут стоять характеристические корни матрицы A, взятые с их кратностями.

Приведению квадратичной формы к главным осям можно

придать следующую геометрическую формулировку: в евклидовом пространстве уравнение f (x1, x2,..., xn ) С определяет некоторую поверхность второго порядка.

Ортогональное преобразование X Ce f Y , приводящее форму к каноническому

виду означает поворот декартовых осей, осуществляющий преобразование уравнения

поверхности второго порядка

к каноническому виду, по которому легко узнать тип

данной поверхности.

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому

виду квадратичную форму f (x , x ) 17x2

12x x

8x2

1

2

1

 

1

2

2

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

17

6

 

 

Матрица квадратичной формы:

A

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

8

 

 

Найдем корни характеристического уравнения

 

Ae E

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

Ae E

 

17

6

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

2

25 100

( 20)( 5)

0 1

 

-

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

2

5

 

собственные значения.

Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению:

1 20 . Решим матричное уравнение (Ae 20Е)X 0 .

 

 

 

 

 

3

6

 

x1

 

 

 

0

3

6

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

12

x

 

 

 

0

6

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением

являются

 

векторы

U

 

 

 

2

C 0

,

 

базисом пространства

 

1

С

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решений является вектор u1 (2;1)T .

Нормируем его:

h1 (

 

 

2

 

;

1

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 . Решим матричное уравнение (Ae 5Е)X 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

12

6

x1

 

0

 

,

12

6

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3

x2

 

0

 

 

6

3

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением являются векторы

U

 

С

 

 

1

,

C

 

0

, базисом пространства

2

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решений является вектор u2 ( 1;2)T . Нормируем его:

h2

(

1

;

2

 

)

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X UY

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

Искомое преобразование

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

y

 

 

 

1

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

1

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Канонический вид квадратичной формы:

f 20 y2

5y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

Пример 3. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому

виду квадратичную форму f (x , x , x ) 2x2

x2

x2

4x x

4x x

2x x

1

2

3

1

2

 

3

1 2

1 3

2

3

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица квадратичной формы

A

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим характеристическое уравнение данного преобразования: Ae E 0 .

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

A E

 

 

2

1

 

1

(2 )2 (4 ) 0

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

1

 

Корни уравнения

 

2

 

- собственные значения.

1

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

На втором шаге найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению.

1. 1 2 , решая матричное уравнение (Ae 2 E)X 0 ,

 

 

 

 

4

2

2 x1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Ae

2E) X

2

1

1

 

x2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1 1 x3

 

 

 

4

2

2

 

2

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

0

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 1

 

 

0

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

Решением является вектор U 1

 

 

 

 

С2

 

 

 

 

 

С1

2

 

 

 

0

 

, C1,C2

0 , базис пространства

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решений образуют векторы u ( 1;2;0)T ,

u

2

(1;0;2)T . Ортогонализируем их.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть f1 u1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2 u2 f1 . Выберем

 

таким

 

образом,

 

чтобы

векторы f1, f2 были

ортогональны, то есть ( f1, f2 ) 0 ( f1, f2 ) ( f1, u2 f1) ( f1, u2 ) ( f1, f1) 0

( f1,u2 ) (u1,u2 ) 1 ( f1, f1) (u1,u1) 5

f2 u2 12 f1 15 ( 1;2;0) (1;0;2) ( 54 ; 52 ;2)

Теперь векторы f1, f2 ортогональны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

30

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормируем их.

 

f

 

 

5 ,

 

f

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (

 

;

 

;0)

 

 

h

(

 

2

 

 

;

 

 

 

1

 

 

 

;

 

 

5

 

 

)

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 2

4 . Решим матричное уравнение (Ae 4 E)X 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2 x

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

( Ae 4E) X 2

5 1

 

 

x2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5 1

 

 

0

 

3 3

 

 

 

0 1

1

 

 

 

2

1 5

 

 

 

 

 

0

 

3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Решением является

векторы U 2

С3

 

1

 

,

C3 0 , базисом

пространства

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решений является вектор u

( 2; 1;1)T .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор u3 ( 2; 1;1) ортогонален векторам

u1 ( 1;1;0) и

u2 ( 1;0;1) ,

поскольку они относятся к различным собственным значениям и, как следствие,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторам h1

и h2

. Нормируем его.

 

u3

 

 

 

 

6 , h3

;

;

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (

1

 

;

 

2

 

 

 

;0)

 

 

h

(

 

 

 

2

 

 

 

 

;

 

 

 

 

1

 

;

 

 

5

 

 

)

 

 

 

 

h

 

(

2

 

;

1

 

;

1

 

)

Векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

3

6

 

6

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

составляют искомый ортономированный базис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

30

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ортогональная матрица U

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

30

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

6

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Искомое преобразование X UY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

y

2

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

2

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

 

 

1

30

 

 

 

 

 

 

6

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

y1

1

 

 

 

 

y2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

30

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

y2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Канонический вид квадратичной формы: f 2y12 2y22 4y32 .

Применим рассмотренный алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования для классификации кривых и поверхностей второго порядка.

Пример 4. Найти тип и каноническое уравнение кривой второго порядка

9x2 6y2 4xy 16x 8y 2 0

Решение. Рассмотрим уравнение кривой: 9x2 6 y2 4xy 16x 8y 2 0

 

 

 

квадратичная часть

Выпишем матрицу квадратичной части:

 

 

Матрица квадратичной формы:

9

2

A

 

 

 

 

6

 

 

2

 

Найдем корни характеристического уравнения

 

Ae E

 

0 .

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

9

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ae

E

 

2

6

2

15 50 ( 5)( 10) 0

 

 

1

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

собственные значения.

Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению:

1 5 . Решим матричное уравнение

(Ae 5Е)X 0 .

4

2

x

0

 

4

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

2 1

y

0

 

2

 

 

0

 

 

 

Решением

 

являются

 

векторы

U

 

С

 

1

 

C 0

, базисом пространства

 

 

1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решений является вектор u (1;2)T .

Нормируем его: h1 (

1

 

;

2

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 10 . Решим матричное уравнение (Ae 10Е)X 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

x

0

 

1

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y

0

 

2

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением

являются

векторы

U

 

С

2

, C

 

0 ,

 

базисом

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решений является вектор u ( 2;1)T

. Нормируем его: h2 (

 

2

 

;

 

1

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H {h1, h2} - собственный ортонормированный базис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем

к новым координатам

(x', y')

с

помощью

 

матрицы

пространства

перехода от

исходного ортонормированного базиса {i, j} к собственному ортонормированному

базису {h1, h2}

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

U

 

 

- матрица перехода

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

x'

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

U

 

 

Искомое преобразование

 

 

 

 

2

 

y

y'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Выпишем преобразование координат:

2

 

 

 

 

 

 

 

x'

5

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

.

 

y'

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

x

 

 

 

 

x'

 

 

 

 

y' x'cos y'sin

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

2

 

 

1

 

 

y

 

x'

 

y' x'sin y'cos

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Данное преобразование соответствуют повороту системы координат на угол :

2

tg 1 5 2 против часовой стрелки (т.к. угол положительный): по y 2 единицы,

5

по x - 1 единица

 

y

x'

 

4

 

y'

3

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Перейдем к новым координатам, подставив x' и y' в уравнение кривой:

x' 2 y' 2

 

2x' y' 2

x' 2 y'

2x' y'

x' 2 y'

 

2x' y'

 

 

9

 

 

 

 

6

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

8

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

5

 

5

 

5

 

 

5

 

 

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

9

x'2

4x' y' 4 y'2

6

 

4x'2

4x' y' y'2 2

4

2x'2 3x' y' 2 y'2

5

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16x' 32 y'

16x' 8y'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке Лекции Пронина Е.В.