2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 11

1

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

f (x1,..., xn ) 0

Положительно и отрицательно определенные формы называются знакоопреде-

ленными.

Исследование квадратичной формы на знакоопределенность Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отри-

цательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ха-

рактеристические числа ее матрицы били положительны (отри-

цательны).

Теорема 2. Критерий знакоопределенности

2

Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все коэффициенты в кано-

ническом виде этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определен-

ной необходимо и достаточно чтобы все ее коэффициенты в кано-

ническом виде этой формы были отрицательны.

Пример 4. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность двумя способами: приведя ее к каноническому виду и найдя собственные числа.

f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3

Решение.

I способ. Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Ла-

гранжа. Здесь удобно начать собирать слагаемые с x2 :

f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3

(4x22 4x1x2 4x2 x3 x12 x32 2x1x3 ) x12 x32 2x1x3 3x12 5x32

(x1 2x2 x3 )2 2x12 2x1x3 4x32

(x1 2x2 x3 )2 2(x12 x1x3 14 x32 ) 12 x32 4x32

(x1 2x2 x3 )2 2(x1 12 x3 )2 72 x32

3

(3 )(4 )(5 ) 4((3 ) (5 )) (3 )(4 )(5 ) 4(8 2 ) (3 )(4 )(5 ) 8(4 ) (4 )((3 )(5 ) 8)

(4 )( 7)( 1)

Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 1.

Чтобы установить, является ли квадратичная форма положительно (отрицатель-

но) определенной, не обязательно приводить ее к каноническому виду или разыскивать характеристические числа ее матрицы.

Теорема 3. Критерий Сильвестра

Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-

рицы этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-

рицы четного порядка были положительны, а нечетного – отри-

цательны.

Критерий Сильвестра для трехмерного пространства схематично можно

представить следующим образом:

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квад-

ратов одного знака, называются иногда полуопределенными. Квадратичные формы,

нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты неизвестных, называются неопределенными или формами общего вида.

4

По критерию Сильвестра (теорема 3) квадратичная форма положительно определенная

Пример 5. Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность с помо-

щью критерия Сильвестра

5.1. f1(x1, x2 ) 2x12 x22 6x1x2

общего вида.

ется положительно определенной по критерию Сильвестра.

5.4. f4 (x1, x2 , x3 ) 3x12 2x22 4x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3

является отрицательно определенной по критерию Сильвестра.

Пример 6. Найти все значения параметра , при котором положительно определены следующие квадратичные формы.

5

6.1.Q 2x12 x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3

6.2.Q 2x12 x22 2x32 2x1x2 6x1x3 4x2 x3

Решение 6.1. Составим матрицу квадратичной формы.

Чтобы форма была положительно определенной, по критерию Сильвестра необходимо чтобы все главные миноры были положительными. Для первых двух это усло-

вие выполняется. Минор M3 0 при

Итак, форма является положительно определенной при значениях параметра

1.

Решение 6.2. Составим матрицу квадратичной формы.

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

Очевидно, что система не имеет решения. Не существует значений параметра , при которых форма является положительно определенной.

Пример 7. Найти все значения параметра , при котором отрицательно определены следующие квадратичные формы.

7.1.Q x12 x22 3x32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3

7.2.Q x12 2x22 2 x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3

Решение 7.1. Составим матрицу квадратичной формы.

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

Чтобы форма была отрицательно определенной, по критерию Сильвестра, необходимо чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательным, а миноры четного порядка - положительными. Минор M1 0 . Рассмотрим, при каких будет по-

ложительным минор M 2 и отрицательным минор M3 :

Очевидно, что система не имеет решения. Не существует значений параметра , при которых форма является отрицательно определенной.

Решение 7.2. Составим матрицу квадратичной формы.

Чтобы форма была отрицательно определенной, по критерию Сильвестра, необходимо чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательным, а миноры четного порядка - положительными. Минор M1 0 , M 2 0 Рассмотрим, при каких

будет отрицательным минор M3 : 2 5 0 2,5

Итак, форма является отрицательно определенной при значениях параметра

2,5 .

7

Решение задач обобщающего типа по теме

БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Пример 8. Пусть f x1x2 x1x3 x2x3 - заданная квадратичная форма.

1.Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа.

2.Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции.

3.Указать линейное преобразование и сделать проверку.

4.Проверить на знакоопределенность.

входил в форму с ненулевым коэффициентом. Выполним невырожденное линейное преобразование

Тогда

Теперь коэффициент при y1 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить квадрат неизвестного y1 . Сгруппируем все слагаемые, содержащие неиз-

вестное y1 , и дополним их до полного квадрата:

8

2. Число слагаемых с ненулевыми коэффициентами равно числу всех перемен-

ных. Следовательно, квадратичная форма не вырожденная. Ее ранг равен трем. Поло-

жительный индекс инерции равен 1. Отрицательный индекс инерции равен 2. r ( f ) 1

,r ( f ) 2 , r( f ) 3

3.Запишем линейное преобразование и сделаем проверку.

4. Форма общего вида

5. Посмотрим, какую поверхность определяет уравнение f (x) 1. В канониче-

ском виде переобозначим переменные, как

ратичная форма.

1.Найти значение квадратичной формы на векторе a (1; 3;1) .

2.Проверить на знакоопределенность с помощью критерия Сильвестра.

3.Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа.

4.Указать линейное преобразование и сделать проверку.