6. Теория графов.

Основные определения: неориентированные и ориентированные графы, мультиграфы и кратные ребра. Смежность и инцидентность. Локальные степени вершин. Способы представления графов. Матрицы смежности и инцидентности. Графы и бинарные отношения. Изоморфизм графов. Части графов, суграфы и подграфы.

Пути, циклы, цепи, простые цепи в неориентированных графах. Связность и компоненты связности. Шарниры мосты и блоки графа. Расстояния. Центр, радиус, диаметр графа.

Виды связности в ориентированных графах: сильная связность, односторонняя связность. Задачи о цепях: эйлеровы циклы, гамильтоновы циклы.

Основные числа теории графов: цикломатическое число, хроматическое число. Бихроматические (двудольные) графы. Число внутренней устойчивости. Число внешней устойчивости. Метод Магу для отыскания всех максимальных внутренне устойчивых множеств, а также минимальных внешне устойчивых множеств. Метод Магу для нахождения хроматического числа графа.

Деревья. Алгоритмы нахождения связных суграфов заданного графа с взвешенными ребрами с минимальной стоимостью.

Плоские графы, формула Эйлера, необходимые и достаточные условия того, что граф является плоским (теорема Понтрягина-Куратовского).

Транспортные сети. Потоки в транспортных сетях. Алгоритм Форда-Фалкерсона для нахождения максимального потока. Теорема Форда-Фалкерсона.

Алгоритм Дейкстры поиска наикратчайшего пути на орграфе с взвешенными дугами.

Основная литература:

1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. (глава 4)

2. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. – М.: Наука, 1975. (глава 3)

3. Берж К. Теория графов и ее применения. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1964. (главы 1, 4-8. 11-12, 20-21).

Дополнительная литература:

1. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978.

2. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. - М.: Физматлит, 2012. (главы 1,5)

3. Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1980. (главы 1-4, 13-14)

8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля

Первая контрольная работа проводится по темам 1-3 программы (по тему «Комбинаторика») включительно, вторая – по темам 4-6 (по «Графы» включительно).

Задачи (по сложности и выбору тем) аналогичны задачам из рассылаемого студентам задачника.

8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

1. Может ли отношение эквивалентности быть одновременно и отношением порядка?

2. Каковы свойства графов, представляющих отношения эквивалентности.

3. Что такое диаграммы Хассе и к какому виду относятся их графы?

4. Каково число различных функций типа АВ³С, если А= 3, В= 4, С= 2?

5. Какова мощность множества логических функций 5 переменных, которые принимают значение 1 только на тех наборах значений переменных (но необязательно на всех), которые содержат ровно 2 единицы?

6. Как связано понятие функциональной полноты с реализацией логических функций логическими схемами?

7. Может ли радиус графа равняться его диаметру?

8. Какие виды связности возможны в ориентированных деревьях?

9. Можно ли представить неориентированное дерево в виде двудольного графа?