4. Устойчивость объекта управления (
определение
Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения. Устойчивая САУ — система, в которой переходные процессы являются затухающими.
Критерии
Критерий Рауса
Для определения устойчивости системы строятся таблицы вида:
Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы — система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительны, то система на границе устойчивости.
Критерий Гурвица
Теорема:
для устойчивости замкнутой САУ необходимо
и достаточно, чтобы определитель Гурвица
и все его миноры были положительны
при 
{\displaystyle
a_{0}>0.}
Принцип аргумента
Принцип аргумента. В основе частотных критериевустойчивости лежит следствие из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента.
Рис. 4.8. Комплексная плоскость корней
Критерий Михайлова
Заменим p=jw, где ω — угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.
Критерий: для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, построенная в координатах X(w), Y(w) , проходила последовательно через n квадрантов.
Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней (α>0 и β>0)
1)
Корень характеристического уравнения —
отрицательное вещественное число
Соответствующий
данному корню сомножитель (
2)
Корень характеристического уравнения —
положительное вещественное число
Соответствующий
данному корню сомножитель (
3)
Корень характеристического уравнения —
комплексная пара чисел с отрицательной
вещественной частью
Соответствующий
данному корню сомножитель (jw
+
- jB)
(jw
+
+ jB)
4)
Корень характеристического уравнения —
комплексная пара чисел с положительной
вещественной частью
Соответствующий данному корню сомножитель (jw - - jB) (jw - + jB)
Критерий Найквиста
Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.
Пусть разомкнутая система представлена в виде полинома
тогда сделаем подстановку p=jw и получим:
При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) — разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов.
Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции:
Анализ качества замкнутых систем управления
Точность
Точность системы автоматического управления, одна из важнейшиххарактеристик систем автоматического управления (САУ), определяющая степень приближения реальногоуправляемого процесса (УП) к требуемому. Отклонение УП от требуемого вызывается динамическимисвойствами объекта управления (ОУ) и САУ, ошибками измерительных и исполнительных устройств, входящихв САУ, внутренними шумами в некоторых её элементах и внешними помехами. Оно складывается изсистематической и случайной ошибок. Систематическая ошибка представляет собой математическоеожидание случайного отклонения УП от требуемого. Случайная ошибка обычно характеризуется дисперсиейили средним квадратическим отклонением (в случае одномерного УП) либо корреляционной матрицей (вслучае многомерного УП). Соотношение между систематической и случайной ошибками определяетсяполосой пропускания системы (диапазоном частот колебаний входного сигнала, на которые система заметнореагирует). С расширением полосы пропускания система становится менее инерционной и систематическаяошибка уменьшается, однако при этом увеличивается дисперсия случайной ошибки. Поэтому припроектировании САУ ищут некоторое компромиссное решение задачи выбора полосы пропускания. Т. тесносвязана с другой важной характеристикой САУ ‒ её чувствительностью.
Запас устойчивости
В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать систему так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.
Необходимость запаса устойчивости определяется следующими условиями:
Отбрасывание нелинейных слагаемых при линеаризации.
Коэффициенты, входящие в уравнение, описывающее САУ, определяются с погрешностью.
Устойчивость исследования для типовых систем при типовых условиях.