2. Математическое описание модели вход-выход

Модель вход-выход (ВВ) - это описание связи входных и выходных сигналов динамической системы. Необходимость в таком описании появляется при рассмотрении поведения отдельных блоков и, в частности, объекта управления (ОУ), так и всей системы управления в целом.

Аналитические модели. Линейная модель вход-выход одноканальной динамической системы ( здесь - объекта управления) может быть представлена обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

[ М1 ]   ,

где a_i , b_i -коэффициенты (параметры модели ), a₀   0 , b₀   0, n - порядок модели, 0  m<n .

Уравнение [M1] связывает входные сигналы   и их производные   с выходными сигналами y(t) и их производными   на некотором временном интервале, т.е. при   . Значения   ,   ,...,  называются начальными значениями (условиями), а число r = n - m   1 - относительной степенью модели.

передаточная функция

Из уравнения [М2] найдем явную связь переменных y(t) и u(t) в виде операторного уравнения :

[М3]                       ,

где интегрально - дифференциальный оператор

(2.5)                     

называется передаточной функцией системы [M1].

Преобразование Лапласа

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях

Пусть u(t){\displaystyle u(t)\!} — входной сигнал линейной стационарной системы, а {\displaystyle y(t)\!} y(t) — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(t){\displaystyle W(s)\!} такой системы записывается в виде:

где U(s){\displaystyle U(s)\!} и Y(s){\displaystyle Y(s)\!} — преобразования Лапласа для сигналов u(t) {\displaystyle u(t)\!} и y(t){\displaystyle y(t)\!} соответственно:

структурные схемы

2.1.2. Структурные схемы. Наиболее распространенной графоаналитической формой модели динамической системы является структурная схема - разновидность направленного графа. Элементами такой схемы являются (рис. 2.1)

Рис. 2.1. Элементы структурной схемы

• буквенные обозначения сигналов (x(t), u(t), y(t) и т. д.) и т.д.;

• буквенные обозначения операторов (например, W(p));

• графические обозначения - стрелки, указывающие направление действия сигналов, узлы (разветвления сигналов), блоки c указанием входных и выходных сигналов, а также операторов, описывающих связи между сигналами.

К простейшим блокам, использующихся в структурных схемах, относятся:

• блок сравнения;

• сумматор;

• пропорциональный блок;

• интегратор

Рис.2.2. Простейшие блоки

3. Характеристики объекта управления (

Временные характеристики

Зависимость изменения выходной величины системы от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой и обозначается h(t).

Не менее важное значение в ТАУ уделяется импульсной переходной характеристике, которая описывает реакцию системы на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях, обозначают  (t). Единичный импульс физически представляет из себя очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Математически он описывается дельта - функцией d(t) = 1’(t).

Переходная и импульсная переходная характеристики называются временными характеристиками. Каждая из них является исчерпывающей характеристиками системы и любого ее звена при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии.

Зная передаточную функцию W(p) = K(p)/D(p), выражение для переходной функции можно найти из формулы Хевисайда:  , где p_k - корни характеристического уравнения D(p) = 0. Взяв производную от переходной функции можно получить выражение для импульсной переходной функции  (t) = h’(t).

Частотные характеристики

Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме, т. е. вынужденные синусоидальные колебания рассматриваемой системы при гармоническом входном сигнале.

Если на вход системы подается сигнал g(t) = sinωt (см. рис. 4.1), то в установившемся режиме на ее выходе появится сигнал х = a sin(ωt+φ), где a — усиление системой амплитуды входного сигнала, а φ — сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к входному.

Рис. 4.1. Реакция звена на синусоидальное входное воздействие

Синусоидальное колебание можно представить в виде

Геометрически на комплексной плоскости закон изменения может быть представлен вращением единичного вектора (см. рис. 4.2). Проекции последнего на соответствующие оси дают cosωt и sinωt. Поэтому при исследовании вынужденных синусоидальных колебаний системы достаточно формально исследовать ее реакцию на сигнал .