Тема 5. Прием сигналов в системах передачи дискретных сообщений.

Лекция 10. Помехоустойчивость оптимальных приемников при точно известных сигналах.

1. Вероятность ошибки при оптимальном приеме двоичных сигналов.

2. Влияние св-в с-лов на верность передачи.

3. Влияние неидеальности синхронизации на помехоустойчивость оптимальных приемников.

Каковы оптимальная помехоустойчивость оптимальных приемников (реализованных либо на приципах оптимальной линейной фильтрации, либо на принципах корреляционной обработки.

Вопрос 1

Рассмотрим случай равновероятных с-лов (0и1) с одинаковой энергией. По критерию идеального наблюдателя вычисляется разность ξ корреляционных интегралов

(5.13)

ξ – явл. С.В., т.к. зависит и от с-ла и от шума  условие ξ >< явл. статическим и выполняется с некоторой вероятностью. Для определения этих вероятностей необходимо знать з-н распределения СВ ξ.

Преобразуем (5.13) к виду

(5.14)

Предположим на вх. поступил S0(t), т.е. передан b₀, тогда

(5.15)

Если ξ₀ > 0, то b₀ – принят правильто,

Если ξ₀ < 0, то ошибка, принят b₁ с вероят. p(b₁/b₀).

Преобразуем

эн-ия с-ла S₀(t) Е ВКФ между с-лами S₀(t) b S₁(t) B_s

b_s = B_s / E – нормированное значение ф-ции корреляции.

Bs = E ·b_s

т.к. шум в канале нормальный  С.В. ξ₀ – рез-т линейного преобразования белого шума, т.е. ξ₀ имеет нормальный закон распределения.

Определим мат. ожидание ξ₀

( в силу независимости с-ла и шума)

ξ₀ мат. ожид.

= 0 , т.к. сред. знач. белого шума

Определим дисперсию ξ₀

(заменяем квадрат интеграла – двойным интегралом)

(т.к. с-л и шум не зависимы)

B_ш(t, t₁) – корреляц. ф-ция белого шума.

с учетом

1) В_ш(t, t₁) =

N0 – спектральная плотность мощности белого шума

δ(t – t₀) – дельта ф-ция.

2) фильтрующих св-в дельта ф-ции

имеем

С учетом мат. ожид. и дисперсии

одномерные з-ны распределения С.В. ξ₀ и ξ₁

(5.16)

(5.17)

Справка

Рис. Законы распределения случайного напряжения на вх. порогового уст-ва.

(5.18)

(5.19)

Подставим (5.16) в (5.18)

Заменим переменную интегрирования ξ, введя в рассмотрение переменную y

;

ξ₀ = 0, при

(5.20)

где – интеграл ошибок.

На практике исп. интегралы ошибок с различными «масштабными» коэф. и различными пределами интегрирования. Быть внимательным, ведь для этих интегралов есть свои таблицы.

В дальнейшем будем пользоваться интегралом вероятностей

,

тогда (5.20) принимает вид

(5.21)

Для Φ(υ) построены табл..

Аналогично (5.21)

(5.22)

(5.23)

Рассмотрим (5.23) для конкретных сигналов (частные случаи)

Вопрос 2. Влияние св-в с-лов на верность передачи.

2.1. Системы с активной паузой и ортогональными сигналами.

Пример  частотно-манипулированные с-лы ЧМ_н

 фазо-манипулированные с-лы с манипуляцией фазы на 90º, ФМ_н с Δφ = 90º.

b_S = 0;

(5.24)

2.2. С-мы, исп. противоположные с-лы S₀(t) = –S₁(t)

Например  фазоманипулированные с-лы с манипуляцией фазы на 180ºС ФМ_н с Δφ = 180º.

b_S = –1;

(5.25)

– достигается max различие между противополож. с-лами;

– при прочих равных условиях обеспечивают p_ош, min.

2.3 С-мы исп. с-лы с пассивной паузой (энергия затрачивается только на излучение одного из с-лов)

Например  амплитудная манипуляция АМ_н S₀(t) – есть с-л; S₁(t) – нет с-ла.

, т.к. ВКФ между с-лом и паузой (т.е. ø) – частный случай ортогональных с-лов, но

(5.26)

Для достижения р_ош, такой же как и для ортогональных с-лов с активной паузой (5.24) необходимо энергию посылки с пассивной паузой увеличить в 2 раза. (Увеличить пиковую мощность посылки и(или) увеличить длительность). И то и др. во многих случаях нежелательно  с-лы с пассивной фазой в современных с-мах цифровой передачи инф. находят ограниченное применение.

2.4. Сравнительный анализ.

Запишем (5.23) в виде

p_ош = 0,5 [1 – Φ(γ_c, h₀)],

где γ_c – постоянный коэф. имеет знак

– для 2.1, (5.24) γ_c = 1

– для 2.2, (5.25) γ_c =

– для 2.3, (5.26) γ_c =

Рис. Зависимость p_ощ от отношения с-ла к помехе для различных классов двоичных с-лов p_ош = f(h₀²)

Сравним (5.24), (5.25) и (5.26), полагая р_ош = const, длит. с-лов = const, а пиковая мощность var. Найдем энергетический выйгрыш при переходе от АМ_н  к ЧМ_н (ФМ_н с Δφ = 90º). Изменение амплитуды колебания (для достижения р_ош без изменения длительности) в раз даст выйгрыш по пиковой нагрузке в 2 раза.

От ЧМ_н  к ФМ_н с Δφ = 180º (противоположные с-лы). Изменение амплитуды колебания (для достижения р_ош без изменения длительности) в раз даст выйгрыш по пиковой нагрузке в 2 раза.

От АМ_н  к ФМ_н с Δφ = 180º. Выйгрыш по пиковой нагрузке в 4 раза.

Определим выйгрыш по средним мощностям

АМ_н P_S = 0,5 P_max.

?