Раздел I Методы решения задач транспортного типа Постановка задачи и ее математическая модель
Транспортная
задача является частным типом задачи
линейного программирования и формулируется
следующим образом. Имеется m
пунктов отправления (или пунктов
производства) Аi
…, Аm,
в которых сосредоточены запасы однородных
продуктов в количестве a1,
..., аm
единиц. Имеется n
пунктов назначения (или пунктов
потребления) В1,
..., Вm,
потребность которых в указанных продуктах
составляет b1,
..., bn
единиц. Известны также транспортные
расходы Сij,
связанные с перевозкой единицы продукта
из пункта Ai
в пункт Вj,
i
1,
…, m; j
1,
..., n.
Предположим, что
т. е. общий объем производства равен общему объему потребления. Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц продукта везти), чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок. Приведенная формулировка транспортной задачи называется замкнутой транспортной моделью. Формализуем эту задачу.
Пусть хij - количество единиц продукта, поставляемого из пункта Аi в пункт Вj. Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой:
(1)
Суммарное количество продукта, направляемого из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу продукта в данном пункте. Формально это означает, что
,
i
1,
…, m (2)
Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно потребности. Это условие полного удовлетворения спроса:
,
j
1,
…, n (3)
Объемы перевозок - неотрицательные числа, так как перевозки из пунктов потребления в пункты производства исключены:
xij
0,
i
1,
..., m;
j
1,
..., n (4)
Транспортная задача сводится, таким образом, к минимизации суммарных затрат при выполнении условий полного удовлетворения спроса и равенства вывозимого количества продукта запасам его в пунктах отправления.
Метод Северо-западного угла
Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причём максимально возможным числом: либо полностью вывозится груз из Ai, либо полностью удовлетворяется потребность Bj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы Ai и не удовлетворяются потребности Bj. В заключении проверяют, что найденные компоненты плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что выполняется условие не вырожденности плана.
Начинаем заполнять таблицу с верхней левой клетки, и ставим максимально возможное количество груза, и так далее:
Этап I. Поиск первого опорного плана.
Таблица 1.1.1
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
22 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
|
|
3 |
|
10 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
17 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W= 22*22+48+14*21+3*26+30+6*18+8*29+17*26+46+16*19=2066
Этап II. Улучшение опорного плана.
Чтобы установить является ли опорный план оптимальным, надо проверить, как повлияет на величину целевой функции любое возможное перераспределение поставок.
Таблица 1.1.2
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
19 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
3 |
|
|
|
10 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
17 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W =19*22+6+5*24+14*21+30+6*18+8*29+17*26+46+16*19=2000
Таблица 1.1.3
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
5 |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
3 |
|
|
|
10 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
17 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W=5*22+14+6+19*24+30+6*18+8*29+17*26+46+16*19=1748
Таблица 1.1.4
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
|
|
19 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
8 |
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
17 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W= 14+16+19*24+35+15+6*18+8*29+17*26+46+16*19=1668
Таблица 1.1.5
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
|
|
1 9 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
8 |
|
|
|
5 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
17 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W =14+16+19*24+35+45+11*18+3*29+17*26+46+16*19=1643
Таблица 1.1.6
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
|
|
1 4 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
8 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
17 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W = 14+16+14*24+50+70+11*18+3*29+17*26+46+16*19=1563
Таблица 1.1.7
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
|
|
1 1 |
|
10 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
8 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
17 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W = 14+16+11*24+80+70+75+11*18+17*26+46+16*19=1509
Таблица 1.1.8
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
|
|
|
|
10 |
|
3 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
8 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
19 |
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W = 14+16+190+70+75+11*18+11*23+6*26+46+16*19=1322
Таблица 1.1.9
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
|
|
|
|
10 |
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
|
|
19 |
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||
W = 3+38+190+70+14*25+11*7+6*26+46+16*19=1234
Таблица 1.1.10
|
22 |
|
24 |
|
7 |
|
25 |
|
23 |
|
29 |
24 |
||
|
|
|
|
10 |
|
8 |
|
6 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
21 |
|
30 |
|
10 |
|
7 |
|
19 |
14 |
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
26 |
|
3 |
|
18 |
|
30 |
|
27 |
19 |
||
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
22 |
|
10 |
|
9 |
|
29 |
|
26 |
|
23 |
27 |
||
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||
|
18 |
|
16 |
|
13 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
16 |
||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
10 |
|
|||
22 |
19 |
10 |
14 |
17 |
18 |
100 |
||||||||
W = 3+38+190+70+8*25+6*17+6*23+11*7+8*23+190=1192
Таким образом, последний опорный план является оптимальным.
Минимальные затраты составят:
W = 1192