Экзаменационный билет №7
1.Законы Булевой алгебры.
1. Закон сложения с нулем и единицей
2. Закон умножения на ноль и единицу
3. Закон идемпотентности
4. Законы операций с переменной и ее инверсией
5. Закон двойного отрицания
6. Закон коммутативности
7. Законы поглощения
8. Законы поглощения с отрицанием
9. Закон де Моргана
10. Закон ассоциативности
11. Закон дистрибутивности
2. Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.
а) исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую
переводится (2 или 16);
б) в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с
таблицей 1 в цифру нужной системы счисления и отбрасывается – она
является старшей цифрой получаемой дроби;
в) оставшаяся дробная часть (это правильная дробь) умножается на нужное
основание системы счисления с последующей обработкой полученного
произведения в соответствии с шагами а) и б)
г) процедура умножения продолжается до тех пор, пока не будет получен
нулевой результат в дробной части произведения или не будет достигнуто
требуемое количество цифр в результате;
д) формируется искомое число: последовательно отброшенные в шаге б)
цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке
уменьшения старшинства.
Экзаменационный билет №8
1.Дизъюнктивная нормальная форма логических функций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:
в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.
Любая булева формула, не являющаяся тождественно ложной, может быть приведена к СДНФ, причем единственным образом, то есть для любой выполнимой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.
Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:
X1 |
X2 |
X3 |
F(x1,x2,x3) |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
2.Перевод десятичных чисел в восьмеричные.
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример.
Число
перевести
в восьмеричную систему счисления.
Экзаменационный билет №9
1.Операции алгебры Жегалкина.
Множество булевых функций, рассматриваемое вместе с операциями конъюнкции и сложения (по модулю два), будем называть алгеброй Жегалкина.
Непосредственно проверкой (с помощью таблиц истинности) устанавливаются следующие законы:
1)
–
закон коммутативности;
2)
–
закон ассоциативности;
3)
–
закон дистрибутивности;
4)
;
5)
.
В алгебре Жегалкина роль совершенных нормальных форм булевой алгебры играют полиномы Жегалкина.
Полиномом
Жегалкина называется полином вида
причем
в каждом наборе
все
координаты различны, а суммирование
ведется по некоторому множеству таких
не совпадающих наборов,
а –
константа 0 или 1.
Например,
выражение
является
полиномом Жегалкина, а выражения
и
–
нет, так как в первом выражении имеется
конъюнкция, содержащая две переменные
y, а второе выражение содержит два
одинаковых слагаемых
и
.
Если в произвольной форме алгебры Жегалкина раскрыть скобки и произвести все возможные упрощения по указанным выше законам и закону идемпотентности, то получится формула, являющаяся полиномом Жегалкина.
Рассмотрим теперь взаимосвязь, существующую между операциями булевой алгебры и алгебры Жегалкина. Непосредственной проверкой устанавливается
(3.7)
Ранее мы показали, что любая булева функция может быть выражена в виде формулы через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Согласно законам (3.7) получаем, что любая булева функция может быть выражена в виде формулы алгебры Жегалкина. Следовательно, существование полинома Жегалкина доказано для любой булевой функции.
Число
различных слагаемых (конъюнкций) полинома
Жегалкина от n переменных равно числу
всех подмножеств из n элементов, т.е. 2n.
Число различных полиномов, которые
можно образовать из этих конъюнкций,
равно числу всех подмножеств множества
данных конъюнкций, т.е.
.
Следовательно, число всех полиномов
Жегалкина от n переменных равно числу
всех булевых функций от n переменных.
Отсюда следует единственное представление
булевой функции посредством полинома
Жегалкина. Итак, справедлива следующая
теорема.
Теорема 6Каждая булева функция может быть единственным образом выражена при помощи полинома Жегалкина.
Пример
8 Выразить
в
виде полинома Жегалкина.
Способ
1 (табличный) Ищем требуемый полином
методом неопределенных коэффициентов:
.
1) при x = y = 0 имеем: d = 1;
2) при x = 0, y = 1 имеем: a = 0;
3) при x = 1, y = 0 имеем: b = 1;
4) при x = 1, y = 0 имеем: 1 = a + b + c + d = a + 1 + 0 + 1 = a, т.е. а = 1.
Отсюда
