Частотные характеристики сигналов
Спектр сигнала является важнейшей характеристикой сигнала. Его частотный состав определяет требования к узлам аппаратуры связи – помехозащищенность, возможность уплотнения.
Спектральная плотность описывает сигнал в частотной области и определяется с помощью прямого преобразования Фурье:
,
(1.4)
где
– временная функция сигнала;
– круговая частота.
Использование преобразования Фурье позволяет относительно простым образом анализировать прохождение сигналов через различные цепи и каналы связи, выполняя все необходимые расчеты в частотной области. Затем итоговую спектральную плотность следует перевести во временную область путем обратного преобразования Фурье:
,
(1.5)
В данном курсовом проекте обратное преобразование не используется, задача ограничивается только поиском и анализом спектров сигналов. Приведем несколько свойств спектральной плотности.
Свойство вещественной и мнимой частей
спектра состоит в том, что при четной
функции
мнимая часть
, а при нечетной –
.
Это следует непосредственно из
интегральных форм.
Свойство линейности выражается в том,
что если имеется несколько сигналов
и у каждого из них имеется спектральная
плотность
,
то спектральная плотность суммы сигналов
равна сумме их спектральных плотностей.
Смещение сигнала во времени. Предположим,
что для сигнала
спектр
известен. Рассмотрим такой же сигнал,
но возникающий с задержкой на
.
Его спектр будет равен:
.
(1.6)
Спектральная плотность первого сигнала имеет следующий аналитический вид:
.
(1.7)
Модуль спектральной плотности первого сигнала находится из аналитического выражения спектральной плотности (1.7). График модуля спектральной плотности приведен на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Модуль спектральной плотности первого сигнала.
Фаза спектральной плотности также находится из аналитического выражения спектральной плотности. В данном случае для первого сигнала мнимая часть на всей полосе частот.
Спектральная плотность второго сигнала имеет вид:
.
(1.8)
Модуль спектральной плотности второго сигнала находится из аналитического выражения спектральной плотности (1.8). График модуля спектральной плотности приведен на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Модуль спектральной плотности второго сигнала.
Фаза спектральной плотности определяется из текущего аналитического выражения для спектральной плотности. График фазы спектральной плотности показан на рис. 1.6.
Рис. 1.6. Фаза спектральной плотности второго сигнала.
Спектральная плотность третьего сигнала имеет следующий аналитический вид:
.
(1.9)
Модуль спектральной плотности третьего сигнала находится из аналитического выражения спектральной плотности (1.9). График модуля спектральной плотности приведен на рис. 1.7.
Рис. 1.7. Модуль спектральной плотности третьего сигнала.
Фаза спектральной плотности третьего сигнала находится из аналитического выражения спектральной плотности. В данном случае из (1.9) следует, что мнимая часть на всей полосе частот.