2.1.4. Рух у полі центральних сил. Закони Кеплера і закон всесвітнього тяжіння. Умови еліптичного, параболічного і гіперболічного рухів.

Поле центральних сил – поле, в якому на матеріальну точку діє деяка сила, яка напрямлена до центра по прямій і є функцією віддалі від цього центра.

Закони Кеплера :

1. Кожна планета рухається по еліпсу, в одному із фокусів якого знаходиться Сонце.

2. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі.

3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх еліптичних орбіт : , де Т₁ і Т₂ – періоди обертання двох планет навколо Сонця; а₁ і а₂ – великі півосі їх орбіт.

Закон всесвітнього тяжіння : сила взаємодії між планетою і Сонцем прямо пропорційна добутку їхніх мас і обернено пропорційна квадрату відстань між ними : де γ – гравітаційна стала.

Математичний запис закону всесвітнього тяжіння справджується для випадку, коли тіла можна вважати матеріальними точками, тобто коли розмірами взаємодіючих тіл можна нехтувати порівняно з відстанню між ними. Якщо розміри взаємодіючих тіл мають порядок відстані між ними, то тіла вважати точковими неможливо. Для визначення сили притягання між ними кожне тіло ділять на елементи, які можна вважати матеріальними точками. Тоді сила взаємодії між двома елементами

де Δm_і – і-й елемент першого тіла, Δm_к – к-й елемент другого тіла.

- сила взаємодії і-го елемента першого тіла з к-им елементом другого тіла,

- сила, з якою друге тіло діє на перше.

На основі сили тяжіння проводять розрахунки траєкторії руху небесних тіл та космічних кораблів. За його допомогою обчислюють маси небесних тіл та інших планет і періоди обертання їх.

Перша космічна швидкість - швидкість, яку треба надати тілу для перетворення його на супутник Землі, що рухається по коловій орбіті радіусом R_З:

,

Друга космічна швидкість - це та найменша швидкість, яку потрібно надати тілу для того, щоб його орбіта стала параболічною і воно перетворилося на супутник Сонця :

Тілу можна надати і такої сили, щоб воно залишило Сонячну систему. Цю швидкість називають третьою космічною швидкістю.

2.1.5. Задача двох тіл.

Рассмотрим задачу о движении двух взаимодействующих толь­ко между собой материальных точек. Вследствие однородности и изотропности пространства потенциальная энергия взаимодей­ствия может зависеть только от расстояния между точками. Функ­ция Лагранжа для данной задачи запишется в форме

 (4.1)

Рассматриваемая система материальных точек замкнута. Поэтому ее импульс сохраняется, и система отсчета центра инерции являет­ся инерциальной системой отсчета. Задачу будем решать в систе­ме отсчета центра инерции. Начало координат поместим в центр инерции, что дает

 (4.2)

Введем радиус-вектор  , направленный от первой материальной точки ко второй:

 (4.3). С помощью формул (4.2) и (4.3) выразим векторы   и   через вектор  :  ;  (4.4)

Потенциальная энергия теперь зависит только от величины век­тора  . Выражая с помощью формул (4.4) скорости  и  через вектор  , кинетическую энергию системы двух материальных точек можно записать как кинетическую энергию одной матери­альной точки массой

 (4.5)

Выраженная через радиус-вектор   функция Лагранжа (4.1) запи­шется в форме

(4.6)

Функция Лагранжа (4.6) — это функция Лагранжа одной мате­риальной точки массы  , движущейся в потенциальном поле, за­висящем только от расстояния до начала координат. Такое потен­циальное поле называется Центральным полем. Сила, действую­щая в центральном поле на материальную точку, направлена по прямой, соединяющей материальную точку с центром поля:

 (4.7)

Масса  , определенная согласно (4.5), называется Приведенной массой. Следовательно, решение задачи двух тел эквивалентно решению задачи о движении в центральном поле материальной точки с массой, равной приведенной массе. После решения задачи о движении материальной точки в центральном поле, координаты двух тел можно получить при помощи формул (4.4).