15. Булевы функции, способы задания, существенные и фиктивные пере­менные, отношение равенства, поиск существенных переменных.

Булева функция от n переменных (при   — произвольное отображение  .

Задать булеву функцию от n переменных можно, указав значение функции на каждом из наборов значений переменных. Поскольку каждая переменная может принимать только два значения — 0 и 1, имеется попарно различных наборов.

Следовательно, булева функция от n переменных может быть задана таблицей, состоящей из двух столбцов и строк. В первом столбце перечисляют все наборы из , а во втором — значения функции на соответствующих наборах. В таблице каждый набор рассматривают как запись натурального числа в двоичном исчислении и располагают наборы в соответствии с естественным числовым порядком.

Задание булевой функции характеристическими множествами. Так называются два множества:

M¹_f, состоящее из всех наборов, на которых функция принимает значение 1, то есть M¹_f = {α Bⁿ:f(α) = 1};

M⁰_f, состоящее из всех наборов, на которых функция принимает значение 0, то есть M⁰_f = {α Bⁿ:f(α) = 0}.

Табличчное	вектор значений	геометрически

Пример (мажоритарная функция).M¹_f = {011,101,110,111}, M⁰_f = {000,001,010,100}.

Способ представления булевых функций в виде формул.

Пусть Xn = {x1, x2, … , xn} - множество булевых переменных - подмножество P2.

Выражение F, составленное из переменных из Xn и из функций из B называется булевой формулой в базисе B над множеством переменных Xn , если F удовлетворяет следующему индуктивному определению:

1. Переменная является формулой;

2. Если -формулы, то выражение так же является формулой.

3. Других формул нет.

Число всех булевых функций от n переменных равно .

Функция из P₂ зависит существенным образом от аргумента , если существуют такие значения , переменных , что . В этом случае переменная называется существенной.

Переменная, не являющаяся существенной, называется фиктивной. Функции

f и g называются равными, если f можно получить из g добавлением или изъятием фиктивных аргументов.

Поиск: Существенные переменные, все те, которые входят в полином Жегалкина

равные функции реализуются одним и тем же полиномом Жегалкина. Для выявления фиктивных переменных удобно разбить столбец (вернее, строку) значений на две части (посередине — для проверки , на четыре части и склейки через одну — для и т.д.). Если они равны, переменная фиктивна.

16. Булевы функции, формулы над базисом функций, теорема о разложе­нии, сднф.

Фиксируем , где -элементарные функции.

Опр. База B: fi – формула над F

Индуктивный переход: Пусть или формулы над F, или переменные

Выражение F, составленное из переменных из fn и из функций из B называется булевой формулой в базисе B над множеством переменных fn , если F удовлетворяет следующему индуктивному определению:

Пусть – элементарная функция от k переменных

1. формула над F

2. формуле над F соответствует булева функция, являющаяся суперпозицией элементарных функций и переменных.

3. булева функция является суперпозицией элементарной функций, соответствующей некоторой формуле над F

Теорема о разложении булевой функции: Для булевой функции справедливо равенство:

Доказательство:

◄ =  дизъюнктивная сумма нулей V ►

= CDNF

ДНФ от переменных — это формула вида , где — элементарная конъюнкция, содержащая некоторые из литералов из . Когда в каждую конъюнкцию входит в точности один из литералов , ДНФ называется СДНФ.