11. Идемпотентные полукольца. Естественный порядок в идемпотентном полукольце. Супремум конечного множества и сумма его элементов.

Полукольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумя нульарными операциями   , такая, что для произвольных элементов a,b,c множества S выполняются следующие равенства, называемые аксиомами полукольца:

1. (ассоциативность сложения);

2. (коммутативность сложения);

3. (0 — нейтральный элемент по сложению);

4. (ассоциативность умножения);

5. (1 — нейтральный элемент по умножению);

6. (дистрибутивность слева и справа)

7. 

Идемпотентным называется полукольцо, в котором операция сложения идемпотентна, т.е

Естественный порядок

Лемма: упорядоченное множество

◄рефлексивность, антисимметричность, транзитивность

Теорема: - идемпотентное полукольцо. Если Х — конечное подмножество (носителя) идемпотентного полукольца, то sup Х относительно естественного порядка этого полукольца равен сумме всех элементов множества Х, т.е

Доказательство: 1) S – верхняя грань Х, т.е

2) Пусть М – верхняя грань =>

M – верхняя грань  

12. Индуктивно упорядоченные множества. Монотонные отображения. Непрерывные отображения. Связь монотонности и непрерывности.

упорядоченное множество

Множество вместе с заданным на нем отношением порядка называют упорядоченным множеством

индуктивно упорядочено, если

1. наименьший элемент последовательности

2. монотонная последовательность на

монотонно, если

- непрерывно, если

Теорема: Непрерывное отображение одного индуктивного упорядоченного множества в другое – монотонно

◄

Образуем последовательность – монотонна

►

13. Индуктивно упорядоченные множества. Теорема о наименьшей непо­движной точке непрерывного отображения.

упорядоченное множество

Множество вместе с заданным на нем отношением порядка называют упорядоченным множеством

индуктивно упорядочено, если

1. наименьший элемент последовательности

2. монотонная последовательность на

монотонно, если

- непрерывно, если

Теорема: любое непрерывное отображение f: x->x индуктивно упорядоченного множества в себя имеет наименьшую неподвижную точку, т.е – неподвижная точка для f 

Доказательство: Если 𝟘 – наименьший элемент в Х, то (𝟘) – наименьшая неподвижная точка f.

Лемма 0: Непрерывное отображение индуктивно упорядоченного множества монотонно

Лемма 1: 𝟘), – монотонно возрастает

Лемма 2:

Л0 отображение непрерывно => монотонно

Л1 𝟘) монотонно возрастает,

Лемма 3: наименьшая неподвижная точка

◄Пусть у – точка, неподвижная точка

𝟘 , 𝟘 – наименьший элемент =>

Если , монотонно f

y

Т.е. у – верхняя грань

=> последовательность

14. Замкнутые идемпотентные полукольца. Минимальное решение урав­нения х = ах + b в замкнутом идемпотентном полукольце.

полукольцо, идемпотентно:

Замкнуто: 1)

2)

Наименьшее решение линейного уравнения в замкнутом полукольце:

Теорема: Наименьшими решениями уравнений выше в замкнутых полукольцах являются и , где — итерация элемента a.

Доказательство:

◄По теореме о наименьшей неподвижной точке непрерывного отображения (𝟘) = x, записываем sup как бесконечную сумму х =

…