Оглавление

7. Теорема о мощности множества отображений из данного множества в двухэлементное. 9

8. Алгебраические системы: полугруппы, группы, подгруппы, группа перестановок, теорема Кэли. 10

9. Алгебраические системы: группы, подгруппы, циклическая группа, порядок элемента, теорема Лагранжа. 11

10. Алгебраические системы: кольца, поля, делители нуля, доказатель­ство того, что конечное коммутативное кольцо с отличной от нуля единицей и без делителей нуля является полем, примеры конечных полей. 12

11. Идемпотентные полукольца. Естественный порядок в идемпотентном полукольце. Супремум конечного множества и сумма его элементов. 13

12. Индуктивно упорядоченные множества. Монотонные отображения. Непрерывные отображения. Связь монотонности и непрерывности. 14

13. Индуктивно упорядоченные множества. Теорема о наименьшей непо­движной точке непрерывного отображения. 15

14. Замкнутые идемпотентные полукольца. Минимальное решение урав­нения х = ах + b в замкнутом идемпотентном полукольце. 16

15. Булевы функции, способы задания, существенные и фиктивные пере­менные, отношение равенства, поиск существенных переменных. 17

16. Булевы функции, формулы над базисом функций, теорема о разложе­нии, СДНФ. 19

17. Двойственная булева функция. Принцип двойственности ( теорема о суперпозиции), СКНФ. 20

18. Полиномы Жегалкина. Теорема о представлении булевой функции в виде полинома Жегалкина. Метод неопределенных коэффициентов 21

19. Задача о минимизации ДНФ, сокращенные ДНФ, алгоритм Блейка, карты Карно. 22

20. Задача о минимизации ДНФ, тупиковые ДНФ, их связь с минималь­ными ДНФ, методы поиска тупиковых ДНФ. 23

21. Замкнутые классы: классы функций, сохраняющих константу, класс самодвойственных функций, проверка их замкнутости, лемма о несамодвойственной функции. 24

22. Замкнутые классы: класс монотонных функций, класс линейных функ­ций. Проверка замкнутости, лемма о немонотонной функции, лемма о нелинейной функции. 25

23. Теорема Поста о полноте 27

24. Графы, ориентированные графы, связность, слабая связность, силь­ная связность, компоненты связности. 28

25. Графы, изоморфизмы графов, группа автоморфизмов графа. Под­графы, пути, циклы, остовы, связный граф, количество остовных деревьев в связном графе. 29

26. Графы и матрицы: матрица смежности, её изменение при изменении нумерации вершин. Ранг графа. Проверка корректности определения ранга. 30

27. Деревья. Связь количества вершин и рёбер (неориентированного) де­рева. 31

28. Взвешенный граф. Задача о минимальном остовном дереве в связном взвешенном графе. Алгоритм Краскала 32

29. Задача о достижимости в ориентированном графе. Связь матрицы достижимости и матрицы смежности. 33

30. Задача о кратчайшем пути в ориентированном взвешенном графе. Связь матрицы матрицы смежности (с весами) и матрицы стоимости кратчайших путей. 34

31. Алгоритм Дейкстры поиска кратчайшего пути во взвешенном ориентированном графе. 35

32. Алгоритм поиска в глубину в простом графе. 36

33. Алгоритм поиска в ширину в ориентированном графе. 37

34. Алфавит, слово, язык, множество языков над данным алфавитом, его мощность, операции над языками, полукольцо языков над данным алфавитом. 38

35. Регулярные операции и регулярные языки. Мощность множества регулярных языков. Образуют ли регулярные языки замкнутое полукольцо относительно регулярных операций? 39

36. Регулярные языки и автоматы распознаватели. Построение языка по автомату и автомата по языку. Теорема Клини. 40

41. Конечные детерминированные автоматы, постановка задачи о минимизации, эквивалентные состояния, теорема о минимальном авто­мате. 46

43. Мощность множества языков, порожденных грамматиками. Существование языков, не порождаемых грамматиками. 49

44. Грамматики и автоматы-распознаватели. Место регулярных языков в Иерархии Хомского. 50

45. НК-грамматики. Языки, порожденные НК-грамматиками в иерархии Хомского. 51

46. Задача распознавания в НК-грамматиках. Оценка высоты дерева вы­вода. 52

1. Равенство множеств, операции над множествами, их свойства: ассо­циативность, коммутативность, дистрибутивность, идемпотентность, законы поглощения и законы де Моргана. Доказательство последних методом характеристических функций.

или

Операции (на подмножествах универсального множества U).

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Свойства:

• Ассоциативность: или или

• Коммутативность: или или

• Дистрибутивность: или

• Идемпотентность: или

• Закон поглощения: или

• Закон де Моргана: или

– универсальное множество. . Характеристическая функция

Доказательство:

,

2. Отображения множеств, характеристическая функция множества. Свой­ства характеристических функций (связь с элементарными операци­ями). Характеристическая функция симметрической разности. X, Y – множества. – отображение, – закон, по которому . U – универсальное множество. – отображение, характеристическая функция. Свойства: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Доказательство:

3. Понятие отображения множеств. Сюръективные, инъективные и би­ективные отображения. Композиция отображений. Ассоциативность композиции. Обратное отображение. Теорема существования обрат­ного отображения. Отображение, обратное к композиции отображе­ний.

X, Y – множества. – отображение, – закон, по которому – образ элемента .

– образ множества.

• – сюръективное

• – инъективное

• – биективно инъективное и сюръективное

Композиция отображений Ассоциативность композиции

Доказательство:

Обратное отображение

обратное к , если – тождественное отображение

Теорема существования обратного отображения

– обратимо ( обратное к нему) биективно

Доказательство: обратимо. – обратное отображение сюръекция инъекция биекция. сюръекция , инъекция , т.к. Отображение, обратное к композиции отображений

.

4. Бинарные отношения: отношения эквивалентности, классы эквива­лентности, теорема о разбиении на классы эквивалентности.

Бинарное отношение на X и Y – это . находится в отношении R к .

– отношение эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.

• рефлексивно, если .

• – симметрично, .

• – транзитивно, .

– отношение эквивалентности. – класс эквивалентности элемента . – представитель класса .

Теорема о разбиении на классы эквивалентности.

1. R – отношение эквивалентности на X, тогда все различные классы эквивалентности – разбиение множества X (т.е. не пусты, не пересекаются и их объединение = X).

2. Пусть – разбиения множества X, тогда отношение эквивалентности R на X. - классы эквивалентности на R.

Доказательство: 1) (рефлексивность). .

Лемма 1. .

Доказательство: 1) транзитивность , т.е. .

2. транзитивность , т.е.

Лемма 2. Если , то .

Доказательство: 1) . Лемма 1 . 2) .

Лемма 3. – отношение эквивалентности.

Доказательство: . Симметричность: . Транзитивность: ; ; не пусто

Лемма 4.

Доказательство: . , т.е. .

5. Бинарные отношения: отношения порядка, наибольший (наименьший) элемент, его единственность. Максимальный (минимальный) элемент, инфимум и супремум.

Бинарное отношение на X и Y – это . находится в отношении R к .

– отношение порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

• рефлексивно, если .

• – антисимметрично, .

• – транзитивно, .

– упорядоченное множество.

наибольший, если

наименьший, если

максимальный, если

минимальный, если

Теорема. Если наибольший (наименьший) элемент, то он единственен.

Доказательство: (от противного) – наибольшие элементы.

– упорядоченное множество. . – верхняя грань для A, если . – нижняя грань для A, если .

. – упорядоченное множество. Наименьший элемент наименьшая (точная) верхняя грань = .

. Наибольший элемент множества наибольшая (точная) нижняя грань = .

6. Равномощные множества. Счетные множества, их свойства. Пример бесконечного несчетного множества.

равномощные множества биекция , где .

Свойства:

1. бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство: – бесконечное, , – бесконечное. . . . - счетное подмножество в .

2. – счётно, конечно или счётно.

Доказательство: . первый ; второй .

3. – счётно, – конечно или счётно счётно.

Доказательство:

4. – бесконечно, – конечно или счётно .

Доказательство: счётное. . , где (биекция по свойству 3)) .

5. – конечно или счётно – счётно.

Доказательство аналогично 3).

6. – счётно – счётно.

Доказательство:

■

Пример: – бесконечное несчётное. .

Докажем, что не сюръекция, т.е. . ; ; . Новый – у него нет номера.