Министерство образования и науки Российской Федерации

Институт современных технологий и экономики

Кафедра математических и естественно-научных дисциплин

Кратные и криволинейные интегралы

Методические указания по организации самостоятельной работы

для студентов 1 и 2-го курсов трансферных специальностей

Краснодар

2005

УДК 519.1 (0.75.8)+512

Составители:

Канд. физ.-мат. наук доц. С.Н. Горшкова, ст. преп. И.И. Петрушина

Кратные и криволинейные интегралы: Методические указания по организации самостоятельной работы для студентов 1 и 2-го курсов трансферных специальностей. / Сост.: С.Н. Горшкова, И.И. Петрушина. Ин-т совр. технол. и эконом. – Краснодар, 2005, … с.

Методические указания предназначены для студентов 1 и 2-го курсов трансферных специальностей, изучающих курс математического анализа. Даны понятия кратных интегралов, переход от них к повторным, понятия криволинейных интегралов, переход от них к определенным, приведена общая схема их конструкции, подробно рассмотрено и проанализировано решение всех типов задач, связанных с криволинейными и кратными интегралами. Приведены индивидуальные типовые задания по теме.

Работа подготовлена по результатам НИР «Научно-методическое обеспечение содержания образования».

Ил. … Библиогр. … назв.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Института современных технологий и экономики.

Рецензенты:

канд. техн. наук, доц. Л.М. Данович

канд. техн. наук, доц. А.С. Арутюнян

Двойной интеграл

Понятие двойного интеграла

Рассмотрим в плоскости Оху область σ, имеющую конечную площадь и ограниченную одной или несколькими линиями. Пусть в этой области σ задана функция . Составим для этой функции интегральную сумму вида

, (1)

где Δσ_i – элементарные площадки, получаемые при произвольном делении области σ на n частей, P_i(x_i;y_i) – точки, произвольно выбираемые на каждой из этих частей. Условимся области и их площади обозначать одинаковыми буквами.

Диаметром замкнутой области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области.

Шагом разбиения области называется наибольший из диаметров элементарных частей Δσ_i \ λ – шаг разбиения\. Интегральная сумма зависит от способа разбиения области на элементарные части, от выбора точек P_i , от области σ , от вида функции . Рассмотрим предел последовательности интегральных сумм (1) при стремлении λ к нулю, т.е. при неограниченном увеличении числа элементарных частей и при стягивании каждой из них в точку.

Если существует конечный предел при последовательности интегральных сумм (1), не зависящий ни от способа разбиения области на элементарные части Δσ_i , ни от выбора на каждой из них точек P_i(x_i;y_i) , то этот предел называется двойным интегралом от функции по области σ и обозначается

То есть

(2)

Функция, для которой такой предел существует, называется

интегрируемой в области σ, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, σ – область интегрирования.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция непрерывна в области σ и . Рассмотрим тело, ограниченное снизу областью σ плоскости Оху, сверху – поверхностью, заданной уравнением , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Такое тело называется цилиндрическим. В этом случае двойной интеграл имеет простое геометрическое толкование.

Объем рассмотренного тела равен сумме объемов цилиндрических столбиков с основанием Δσ_{i ,} он приближенно равен сумме произведений площадей оснований н а высоты , , где h_i – равны значению функции в произвольно выбранных точках. А это есть интегральная сумма (1).

Точное значение объема дает предел этой суммы при , то есть двойной интеграл:

(3)

То есть, двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела.

Существование двойного интеграла

Для существование двойного интеграла кажется очевидным, так как он дает объем тела. В общем случае предел вида (2) существует не для всех функций.

Теорема. Для всякой функции , непрерывной в ограниченной замкнутой области, имеющей площадь σ , существует двойной интеграл по этой области.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Вычислять двойной интеграл, как предел интегральной суммы (2), очень трудно. Чтобы избежать вычислительных трудностей, двойной интеграл сводят к последовательному вычислению двух определённых интегралов.

Посчитаем, что подынтегральная функция , это позволит рассматривать двойной интеграл численно равным объёму цилиндрического тела.

(3)

Предположим, что область интегрирования ограничена двумя непрерывными кривыми

и двумя прямыми причём при

Пусть x – произвольная точка, принадлежащая , проведём через неё прямую, параллельную оси Oy. Эта прямая пересекает кривые и в точках c₁ и с₂. Их ординаты Y_входа и Y_выхода, тогда

Теперь посчитаем объём тела с помощью метода поперечных сечений. Известно, что

(4)

г де S(x) – площадь поперечного сечения.

Выберем произвольную точку (x,o,o) и проведём через неё плоскость, перпендикулярную оси Ox, тогда в поперечном сечении получится криволинейная трапеция. Чтобы воспользоваться формулой (4), найдём площадь криволинейной трапеции в этом случае.

Из геометрического смысла определённого интеграла известно, что площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

(5)

где -функция одной переменной x. Для нашего случая: если абсциссу х зафиксировать, то аппликата точек линии M₁M₂ зависит только от у, то есть функция есть функция одного переменного у, и можно применить формулу (5), y изменяется в этом случае от до , тогда

Подставляя это выражение в равенство (4), получаем

или

. (6)

Из формулы (3) и (6) следует

(7)

Таким образом, чтобы вычислить двойной интеграл, нужно сначала вычислить внутренний интеграл

Считается при этом, что x – постоянная величина. Так как и есть функции, зависящие от x, то результатом вычисления интеграла будет функция, зависящая только от x. Её и нужно проинтегрировать в пределах от a до b. Полученное число и будет значением двойного интеграла.

Пример I. Вычислить в декартовых координатах

,

где - область в плоскости Oxy, ограниченная линиями .

Решение

Другими словами, надо найти объём тела, ограниченного сверху поверхностью

Z = 4 - y².

Это параболический цилиндр, развёрнутый вниз “ветвями” и поднятый вверх на 4 единицы. Вычертим теперь область . Для этого вспомним, что она лежит в плоскости Oxy, то есть z = 0. Тогда из уравнения поверхности при z = 0 получаем y² = 4,

y = ±2. Кроме того, надо рассмотреть все линии, уравнения которых не содержит z. Эти линии ограничивают область . Подставив

y = 2 в уравнение , получаем

x² = 4, x = ±2. Возьмём произвольную точку

( x,0,0), проведём плоскость, перпендикулярную оси Ox, сечением будет криволинейная трапеция z = 4 – y², в области переменная x изменяется от

-2 до +2, переменная y меняется от

y_вх = x²/2 до y_вых = 2, поэтому

Замечание. Ввиду симметричности области , можно считать

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определённых интегралов.

Замечания.

I. Если область интегрирования ограничена двумя непрерывными кривыми

и двумя горизонтальными прямыми y = c, y = d, c < d

,то, рассуждая аналогично, можно получить

(8)

В этом случае при вычислении внутреннего интеграла считаем y постоянной величиной. Результатом этого будет функция, зависящая от y, так как пределы внутреннего интеграла зависят от y. Потом полученную функцию интегрируем в пределах от c до d.

Интегралы, стоящие в правых частях формул (7), (8), называются повторными или двукратными.

2. В формулах вида (7), (8) пределы внешнего интеграла всегда постоянные.

3 . Формулы (7), (8) выведены в предположении, что имеет специальный вид. Если контур области более сложный, то её разбивают на конечное число областей, удовлетворяющих условиям, выдвинутым при выводе формул (7), (8), и интеграл по области представляют в виде суммы интегралов по слагаемым областям

4.Рассмотрим цилиндрическую систему координат, в ней положение точки в пространстве определяется полярными координатами её проекции на плоскость Oxy и её аппликатой z:

Тогда

(9)

Переход к цилиндрическим координатам часто существенно упрощает вычислительную работу.

Пример 2. Вычислить

,

где - область, ограниченная линией x² + y² = 4.

Вычертим цилиндрическое тело, ограниченное сверху поверхностью z = x² + y² снизу – кругом x² + y² =4, R = 2. Покажем отдельно область . Ввиду симметрии тела, можно рассматривать его четверть. Возьмём произвольную точку (x,0,0) и проведём через неё плоскость, перпендикулярную оси Ox, получим в сечении криволинейную трапецию

z = x² + y²

где z зависит только от y

/x - фиксирована/.

В области переменная x меняется от 0 до 2 /мы рассматриваем только четверть/, переменная y меняется от y_вх = 0 до

Т огда используем формулу (7), (9), получаем x² + y² = 4

.

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Из определения двойного интеграла следует, что при значение двойного интеграла по области численно равно площади области :

Пример 3.

Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями:

x = 0, x = 1, y = x, y=2 – x².

Решение:

Вычисление объёмов тел с помощью двойных интегралов.

Наиболее сложный этап в задачах такого типа – это построение тела, объём которого необходимо найти /см. примеры 1,2/. Попытаемся вычислять объём тела без точного вычерчивания чертежа. Проанализируем, что нужно для определения объёма тела.

Необходимо знать поверхность z = f(x,y), ограничивающую тело сверху, область , ограничивающую его снизу. Уравнение поверхности всегда задано в условии. Область можно построить, вспомнив, что она расположена в плоскости oxy, то есть в плоскости z = 0, то есть f(x,y) = 0 и выяснить, какая линия получилась. И дополнительно, если они даны в условии, рассмотреть линии, лежащие в плоскости Oxy. Эти линии определены уравнениями, не содержащими z. Все эти линии ограничивают искомую область .

Продемонстрируем это на примере.

Пример 4.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

x = 1 – z², y = x, y = -x

Решение

Н айдём область - она ограничивает тело снизу. Для этого положим z = 0, тогда x = 1 –это прямая, параллельная оси Oy. Кроме того, рассмотрим прямые, определяемые уравнениями, не содержащими в своих уравнениях z: y = x, y = -x Построим эти прямые. Область, заключённая между ними, и есть область . Найдём теперь поверхность z = f(x,y), ограничивающую тело сверху. Для этого из уравнения, содержащего z, выразим его: Ввиду симметрии тела /см. область/ можно вычислить четверть объёма V /по заштрихованной части/. Возьмём в этой части произвольную точку x и проведём через неё прямую, параллельную оси Oy. В этом случае x изменяется в пределах от 0 до 1, y изменяется от 0 до y_вых = x.

Поэтому

.(ед³)

П ример 5.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями

z = y, z = 0, x = 0, x = 4, x² + y² =25

Решение.

Сверху тело ограничено поверхностью z = y, снизу – областью .

Найдём её, как пересечение поверхности z = f(x,y) и плоскости z = 0. Тогда из уравнения поверхности получаем y = 0 – это ось Ox. Кроме того, рассматриваем линии, заданные уравнениями, не содержащими z: x = 0, x = 4,

x² + y² =25, x =0 – это ось Oy, x =4 – прямая, параллельная оси Oy, x² + y² =25 – окружность радиуса R = 5, y = 0 – ось Ox. Часть плоскости, ограниченная этими линиями, есть область . Возьмём в этой области по оси Ox произвольную точку х и проведём через неё прямую, параллельную оси Oy. Тогда в области переменная x изменяется от 0 до 4, переменная y изменяется от 0 до окружности, то есть до

Поэтому

Замечание.

Иногда для облегчения вычислительной работы удобно в двойном интеграле изменить порядок интегрирования.

Пример 6. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

Решение.

Дан интеграл

Чтобы изменить порядок интегрирования следует изобразить область интегрирования. Это можно сделать, если будут известны уравнения линий, ограничивающих эту область. Чтобы получить уравнения линий, ограничивающих область интегрирования, надо пределы интеграла по dx приравнять x, а пределы интеграла по dy приравнять y.

Для нашего случая

x = 1. x = 2,

y = 1, y = 3,

x = 2, x = 6,

y = x/2, y = 3

Тогда y изменяется от 1 до 3, x изменяется от 0 до x_вых = 2y

Поэтому

.