Математическая статистика

Цели работы: овладение различными методами обработки статистических данных. Нахождение точечных и интервальных характеристик вариационного ряда. Овладение методом составления доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при известном  и для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения. Овладение методами установления связи между двумя случайными величинами X и Y при большом числе наблюдений и методами определения параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.

Основные теоретические положения Вариационный ряд и его числовые характеристики

Математическая статистика– раздел прикладной математики, занимающийся установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе данных наблюдений и измерений.

Определение. Совокупность объектов, количественный или качественный признак которой требуется изучить статистическими методами, называют генеральной совокупностью.

Определение. Выборкой (выборочной совокупностью) называют совокупность объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Определение. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число элементов этой совокупности.

Определение. Последовательность наблюдаемых значений называют вариационным рядом.

Определение. Число наблюдений значения признака называют частотой значения .

Определение. Отношение частоты к объему выборки называют относительной частотой значения : .

Определение. Вариационный ряд называют дискретным, если два любых соседних наблюдаемых значения отличаются на постоянную величину.

Определение. Вариационный ряд называют интервальным (непрерывным), если его соседние наблюдаемые значения могут отличаться на сколь угодно малую величину.

Определение. Накопленной частотой называют величину, показывающую, сколько наблюдалось значений признака, меньших числа . Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называют накопленной относительной частотой .

Определение. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию .

Определение. Кумулятивной кривой (кумулятой) называют ломаную, соединяющую точки или .

Определение. Полигоном частот (относительных частот) называют ломаную, отрезки которой последовательно соединяют точки , , …, (соответственно точки , , …, ).

Определение. Гистограммой частот (относительных частот) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны отношению (соответственно ), где длина выбирается из практических соображений, а равна сумме частот наблюдаемых значений, попавших в -й интервал.

Определение. Размахом вариации называют разность между наибольшим и наименьшим значениями вариационного ряда: .

Длина интервала вычисляется по формуле . Число промежутков гистограммы равно , где . За значение левого конца первого промежутка принимают , за значение правого конца . Все остальные значения концов промежутков получаются по формуле , .

Алгоритм построения гистограммы

1) Найти размах вариации .

2) Вычислить длину по формуле , округляя ее до удобного для дальнейших вычислений значения.

3) Найти число точек деления на промежутки гистограммы из соотношения . Тогда число промежутков гистограммы .

4) Весь диапазон изменения выборочных данных накрыть совокупностью полуинтервалов , ( ) одинаковой длины так, чтобы значение находилось приблизительно посередине первого интервала, а значение находилось в последнем интервале. Для этого вычислить значения концов промежутков. За значение левого конца первого промежутка принимают , за значение правого конца . Все остальные значения концов промежутков получаются по формуле , . В частности, , и т.д., пока значение не окажется в интервале с номером , являющимся последним.

5) Вычислить сумму частот (относительных частот) наблюдаемых значений, попавших в каждый из интервалов.

6) Построить прямоугольники, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны отношению (соответственно ).

Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое признака выборочной совокупности: .

Определение. Отклонением называют разность между значением признака и выборочной средней: .

Определение. Медианой вариационного ряда называют значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдаемых значений.

Замечание. Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов ( , ) медиана равна серединному значению: , а для ряда с четным числом членов ( , ) – полусумме двух серединных значений: . Для интервального ряда медиана может быть приближенно найдена с помощью кумуляты как значение признака, для которого или .

Определение. Модой вариационного ряда называют то его значение, которому соответствует наибольшая частота.

Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения: (или другая формула ).

Определение. Выборочным средним квадратичным отклонением (выборочным СКО) называют величину .

Определение. Исправленной выборочной дисперсией называют величину .

Определение. Исправленным выборочным средним квадратичным отклонением (исправленным выборочным СКО) называют величину .

Определение. Начальным эмпирическим моментом порядка называют величину .

Определение. Центральным эмпирическим моментом порядка называют величину .

Определение. Асимметрией эмпирического распределения называют величину , где – центральный эмпирический момент третьего порядка.

Определение. Эксцессом эмпирического распределения называют величину , где – центральный эмпирический момент четвертого порядка.